10.2. Уравнение Смолуховского
1. Существует еще одно условие, позволяющее безошибочно отличать плотность вероятности переходов от условной плотности вероятности. Как известно (см., например, [7, 55]), плотность вероятности переходов произвольного марковского процесса удовлетворяет так называемому уравнению Смолуховского:
(10.2.1)
записанному для трех моментов времени 
. Это уравнение может служить, по существу, определением 
, ибо только тогда условная плотность вероятности может считаться некоторой плотностью вероятности переходов, когда она удовлетворяет уравнению (10.2.1).
2. Следует заметить, что уравнение Смолуховского может быть интерпретировано как формула полной вероятности для перехода системы из состояния 
в состояние 
. В этой связи возникает законный вопрос, почему же этому уравнению не удовлетворяет произвольная условная плотность вероятности, поскольку соотношение
также можно понимать как формулу полной вероятности? Дело в том, что для немарковского процесса второй множитель под знаком интеграла будет зависеть еще и от 
, и это уравнение не будет уже уравнением, связывающим одну и ту же функцию 
. Другими словами, для немарковского процесса формулу полной вероятности следует записывать в виде
3. Если рассмотреть условную плотность вероятности гауссова процесса
(10.2.2)
то из уравнения Смолуховского мы найдем единственный вид коэффициента корреляции 
, при котором (10.2.2) будет плотностью вероятности переходов. Это значит, что только таким коэффициентом корреляции может обладать стационарный гауссов марковский процесс [51].
