10.3. Кинетические уравнения марковского процесса

1. Итак, основной особенностью марковского процесса является то, что вероятность перехода из состояния в состояние зависит только от . Это обстоятельство приводит к тому, что задание одномоментной плотности вероятности марковского процесса в позволяет определить ее и для любого .

В самом деле, если известна и плотность вероятности переходов (знак «~» будем далее опускать).

(10.3.1)

Таким образом, одномоментное распределение марковского процесса, заданное в момент , полностью определяет все его дальнейшее развитие. Это значит, что и временная производная плотности вероятности, рассматриваемая в момент , должна также определяться лишь самой плотностью вероятности в тот же момент времени . Другими словами, должно иметь место уравнение

(10.3.2)

где — некоторый дифференциальный оператор, действующий па координату . Этот оператор является линейным по отношению к в силу линейности уравнения (10.3.1). Назовем этот оператор кинетическим оператором марковского процесса. Задаваясь начальными условиями для и решая уравнение (10.3.2), можно определить всю эволюцию одномоментного распределения. Таким образом, (10.3.2) есть кинетическое уравнение марковского процесса.

При начальном условии решение уравнения (10.3.2) автоматически дает плотность вероятности переходов . Следовательно, эта плотность вероятности также удовлетворяет тому же самому кинетическому уравнению

(10.3.3)

с начальным условием .

Уравнение (10.3.2) может быть получено и непосредственно из (10.2.1), ибо оно представляет, по существу, дифференциальную форму уравнения Смолуховского (см., например, [5, 6]). При этом оказывается, что дифференциальный оператор равен в общем случае [5,6]

(10.3.4)

где

(10.3.5)

будем называть кинетическими коэффициентами марковского процесса. Здесь усреднение производится по ансамблю реализаций, соответствующему вероятности переходов, т. е.

(10.3.6)

Другими словами, полагая, что является фиксированным, мы усредняем по всевозможным значениям .

Итак, произвольный марковский процесс описывается уравнениями (10.3.2), (10.3.3) с кинетическим оператором(10.3.4).

Наряду с уравнением (10.3.3) из уравнения Смолуховского можно получить и «обратное» уравнение для плотности вероятности переходов, в котором производные берутся по «начальным» координатам:

Другими словами, плотность вероятности переходов как функция начальных переменных удовлетворяет уравнению

где оператор , очевидно, тесно связан с .

Нетрудно показать, что операторы и являются сопряженными, т. е. такими, для которых справедливо соотношение

если хотя бы одна из функций обращается вместе со всеми своими производными в нуль при . Поэтому в последующем, вводя знак сопряжения, будем записывать , где

(10.3.7)

Таким образом, обратное кинетическое уравнение принимает вид

(10.3.8)

2. Марковский случайный процесс называется непрерывным если Для всех . Для непрерывного марковского процесса кинетическое уравнение (10.3.3) принимает вид уравнения Эйнштейна — Фоккера — Планка (ЭФП) [6, 7].

Это же уравнение часто называют прямым уравнением Колмогорова.

Для непрерывного марковского процесса кинетическое уравнение (10.3.8)

называется обратным уравнением Колмогорова [34, 42, 51], сопряженным прямому.

Непрерывность марковского процесса, как это следует из (10.3.5), означает, что для при стремится к нулю быстрее, чем . Это значит, что большие отклонения случайного процесса за малое время существенно менее вероятны, чем малые отклонения (см. подробнее [7]).

3. Кинетические коэффициенты однородного во времени марковского процесса согласно (10.3.5), (10.3.6) не зависят от времени: . Вследствие этого .

Если марковский процесс называется однородным в пространстве. Для него .

Если существует отличный от тождественного нуля предел

то говорят о существовании стационарной плотности вероятности марковского процесса.

4. В заключение параграфа представим временную производную двумоментного распределения марковского процесса через введенные выше операторы. Умножая обе части (10.3.2) на , найдем

Таким образом, для двумоментной плотности вероятности мар" ковского процесса мы получили то же самое кинетическое уравнение. Для стационарного марковского процесса

(10.3.9)