10.5. Дифференциальное уравнение марковского процесса

1. Из статистической независимости приращений

где мы полагаем следует, что статистически независимыми будут и отношения при любых сколь угодно малых . Введем локальную производную случайного процесса

Локальная производная строится на ансамбле производных тех реализаций случайного процесса, которые в момент времени имели значение .

Очевидно, локальные производные марковского процесса должны быть статистически независимы для любых . Поэтому совокупность любого числа локальных производных марковского процесса, взятых в различные моменты времени, является совокупностью статистически независимых случайных величин. Отсюда следует, что локальная производная марковского процесса есть совершенно случайный процесс.

Если производная марковского процесса может быть представлена в виде , где — некоторая зависящая детерминированно от и случайная функция времени, то из вышесказанного следует, что последовательность для любых и различных будет последовательностью статистически независимых величин. При этом, в частности, все - могут быть равными между собой. Это значит, что как функция времени должна быть совершенно случайным процессом;

Если же марковский процесс однороден в пространстве, то совершенно случайным процессом является его обычна(нелокальная) производная.

2. Разберем теперь вопрос: какой общий вид должно иметь дифференциальное уравнение для марковской переменной?

Прежде всего, следует заметить, что процесс может быть марковским только тогда, когда он описывается дифференциальным уравнением первого порядка (см., например, [7]), ибо только в этом случае знание определит дальнейшую эволюцию реализации для что в свою очередь позволит найти по .

Таким образом, мы приходим к тому, что дифференциальное уравнение марковского процесса должно в общем случае иметь вид

(10.5.1)

где случайное воздействие , порождающее марковский процесс, определяет разброс реализаций, выходящих из точки .

Если случайное воздействие отсутствует, то дифференциальному уравнению соответствует в пространстве детерминированное поле скоростей, которое по заданному значению однозначно определяет траекторию для .

Воздействие вносит случайность в поле скоростей. Она ведет к существованию множества возможных реализаций , выходящих из точки , и к необходимости вероятностного описания процесса . Можно сказать, что «случайность» такого процесса проявляется в пересечениях его реализаций, поскольку его производная в каждый момент времени есть случайная величина.

3. Каким свойством должно обладать случайное воздействие , чтобы процесс был марковским? Оно должно быть таким, чтобы как функция времени являлась совершенно случайным процессом. Другими словами, случайные величины для любых различных должны представлять совокупность статистически независимых величин.

В подавляющем большинстве практически встречающихся ситуаций функция зависит от аргументов детерминированно и вместе с тем достаточно «гладко».

В этом случае будет совершенно случайным процессом лишь тогда, когда им будет случайное воздействие .

Таким образом, условием марковости процесса , заданного дифференциальным уравнением (10.5.1) с функцией , гладкой относительно , является совершенная случайность воздействия . В частном случае гауссова воздействия достаточна, очевидно, его дельта-коррелированность; при этом мы получим непрерывный марковский процесс.

Все сказанное элементарно обобщается и на тот случай, когда правая часть уравнения (10.5.1) зависит от нескольких порождающих случайных функций:

Процесс будет марковским, если есть совершенно случайная функция времени. Если зависимость от , является гладкой, то необходимо, чтобы все были, например, статистически независимыми совершенно случайными процессами.