12.3. Пример линейного преобразования негауссова процесса

1. В качестве примера преобразования линейной системой негауссова случайного процесса рассмотрим простейшую систему, описываемую линейным дифференциальным уравнением первого порядка

(12.3.1)

для которого и где — входной стационарный случайный процесс с заданными кумулянтными функциями

Отыщем кумулянтные функции выходного негауссова случайного процесса и с их помощью проанализируем особенности его вероятностного распределения.

Заметим, что с уравнением (12.3.1) мы уже встречались ранее. В том случае, когда — гауссов белый шум, случайный процесс является непрерывным марковским процессом (см. § 10.6). Уравнение (12.3.1) описывает, в частности, случайное напряжение на конденсаторе -цепочки (см. рис. 11.2), на входе которой действует произвольное напряжение (при этом ).

Пусть в начальный момент времени . Тогда общее решение уравнения (12.3.1) согласно (11.1.14) имеет вид

(12.3.2)

Усредняя (12.3.2), найдем

Случайный процесс является нестационарным процессом, поскольку его среднее зависит от времени. Эта зависимость от времени обязана не только ненулевому начальному значению, но и самому процессу установления среднего значения, что означает существование флуктуационных переходных процессов.

Установившееся среднее значение, равное , «достигается» при временах . Лишь в том случае среднее значение не будет зависеть от времени, когда начальное значение совпадает с установившимся.

2. Дисперсию случайного процесса нетрудно вычислить, используя формулу (12.1.4) для . В результате получим

Дисперсия также зависит от времени, изменяясь от нулевого значения при до установившегося значения, равного при :

Почему ? Дело в том, что в принятых предположениях все реализации случайного процесса начинаются из одной точки , т. е. это обстоятельство связано с начальной детерминированной привязкой. Если считать начальное значение случайной величиной, не зависимой от процесса , то начальное значение дисперсии будет, естественно, совпадать с дисперсией , но в дальнейшем с ростом опять-таки придет к .

3. Переходя к высшим кумулянтам, согласно (12.1.4) имеем

(12.3.3)

При будет вследствие детерминированной привязки случайного процесса . При кумулянты принимают установившиеся значения:

Таким образом, одномерное распределение изменяется от начального распределения до установившегося, стационарного распределения , определяемого набором кумулянтов . При этом из (12.3.3) видно, что чем выше порядок кумулянта, тем он быстрее устанавливается. Среднее значение устанавливается медленнее всего. Поэтому эволюция носит следующий характер: сначала как бы формируется сам «вид» вероятностного распределения, затем устанавливается его «ширина» и, наконец, центр тяжести вероятностного распределения «перемещается» к установившемуся среднему значению, равному .

4. Ту же картину мы будем наблюдать и для многомерного вероятностного распределения , определяемого кумулянтными функциями [см. (12.1.5)]

При все кумулянтные функции, кроме , равны нулю, поэтому начальное распределение есть

При случайный процесс становится практически стационарным, обладающим кумулянтными функциями

Сказать что-либо большее о вероятностном распределении в общем случае не удается. Совершенно ясно, что те или иные особенности вероятностного распределения существенно определяются статистическими характеристиками . Поэтому имеет смысл рассмотреть конкретный вид негауссова процесса .

5. Пусть является стационарным дельта-процессом с кумулянтными функциями

(12.3.4)

В этом случае (12.3.3) приводит к

Итак, действительно, чем выше порядок кумулянта, тем быстрее он устанавливается. При

Обратим теперь внимание на то, что, с одной стороны, исследуемый процессх обладает негауссовым распределением, а с другой, представляет собой интеграл (12.3.2) от совершенно случайного процесса (12.3.4). Возникает парадокс, поскольку интеграл от совершенно случайного процесса можно считать суперпозицией бесконечно большого числа статистически независимых случайных величин, а по центральной предельной теореме теории вероятностей (см. § 4.4) эта суперпозиция должна иметь гауссово распределение. Этот парадокс будет раскрыт ниже, в § 12.7.

Кумулянтные функции выходного процесса в установившемся режиме, согласно (12.1.10) и при учете того, что в операциях свертки дельта-функция играет роль единицы, равны

На основании (12.1.9) моментные функции рассматриваемой системы имеют вид

Вводя обозначение

(12.3.5)

получим кумулянтные функции рассматриваемого негауссова случайного стационарного процесса :

(12.3.6)

Функция является линейной симметрической функцией аргументов . Из (12.3.5) нетрудно найти ее свойства:

Таким образом, в общем случае кумулянтные функции являются несимметричными функциями . В то же время , как и должно быть согласно (7.2.8), являются четными:

(12.3.7)

Можно обнаружить и четные комбинации :

Поэтому, как и должно быть в соответствии с (7.2.9), следующие комбинации кумулянтных функций рассматриваемого случайного процесса являются четными:

(12.3.8)

и вообще