14.9. Парадокс нелинейного взаимодействия спектральных компонент

1. Перейдем теперь к выяснению причин исчезновения тех или иных спектральных компонент после квадратичного преобразования, заметив, что полученная ситуация является парадоксальной.

Рис. 14.8.

В самом деле, если на вход детектора подать синусоидальное колебание , то на выходе мы получим «постоянный ток» и колебание удвоенной частоты (рис. 14.8, а) в соответствии с

Эти спектральные компоненты образовались от «сбивания» входной компоненты «самой с собой», в результате чего появились разностная (нулевая) частота и суммарная (удвоенная).

Та же ситуация имеет место и тогда, когда входной сигнал является суммой двух спектральных компонент:

Возведя эту сумму в квадрат, получим

Первое и второе слагаемые образовались как разностные частоты, а второе, третье и четвертое — как суммарные, в результате чего в составе выходного спектра имеем нулевую компоненту , разностную , суммарную и две удвоенные (рис. 14.8, б).

Увеличивая число спектральных компонент, всегда можно с необходимой степенью точности представить их суммой любой случайный процесс (по существу это означает спектральное представление входного процесса). И тогда представляется очевидным, что на выходе квадратичного детектора всегда должны быть четыре спектральные группы: постоянная составляющая, группа компонент разностных частот, группа компонент суммарных частот и, наконец, группа компонент удвоенных частот в соответствии с тем, что если

(14.9.1)

то

И казалось бы, что картина выходного спектра всегда должна соответствовать рис. 14.8, в, г. Однако, как следует из примеров, рассмотренных в предыдущих параграфах, это не всегда так.

2. Прежде всего, следует заметить, что в приведенном анализе мы вовсе не использовали информацию о вероятностном распределении входного процесса. Именно эту информацию нам теперь необходимо привлечь для решения парадокса. Кроме того, в изложенных рассуждениях имеется определенное несоответствие: картины спектра, изображенные на рис. 14.8, а и б, отличаются от картин, изображенных на рис. в и г, не только числом спектральных компонент. Это совершенно различные картины. Спектральные компоненты, входящие в спектры (рис. в и г), не являются компоцентами входящими в разложение (14.9.1).

Компоненты пропорциональны коэффициентам Фурье самого процесса

(14.9.2)

в то время как компоненты пропорциональны коэффициентам Фурье его корреляционной функции

Это различие требует, чтобы весь анализ взаимодействия спектральных компонент при нелинейном преобразовании процесса шел или «на языке» компонент, входящих в состав , или «на языке» компонент, входящих в состав .

3. Начнем разбор, обращаясь к спектральным компонентам . Те спектры, преобразование которых нас интересует, являются спектрами мощности. Если искать выражение спектральной плотности мощности через коэффициент Фурье, то, как известно,

(14.9.3)

На выходе квадратичного детектора

(14.9.4)

Коэффициент Фурье согласно (14.9.2) является случайной функцией аргумента со как определенный интеграл от случайного процесса. Это значит, что каждой реализации случайного процесса соответствует определенная реализация . При этом , как и всякая случайная функция, обладает определенными статистическими связями по .

Из (14.9.3), (14.9.4) следует, что если картина спектра определяется только линейными статистическими связями между различными спектральными компонентами , то на вид спектра оказывают влияние не только линейные связи, но и статистические связи высших порядков, а именно, второго и третьего.

Известно , например, , что коэффициенты Фурье стационарного случайного процесса обладают следующей ковариационной функцией:

Это значит, что спектральные компоненты некоррелированы для различных значений аргументов. В то же время между ними существуют статистические связи высших порядков, так, например, в общем случае

Если же случайный процесс стационарен и гауссов, то вследствие линейности (14.9.2) гауссовой будет и случайная функция .

И вот в этом случае, и только в этом, спектральные компоненты будут для разных статистически независимыми.

С другой стороны, определение картины спектра выхода нелинейного преобразователя путем сбивания спектральных компонент правомерно только тогда, когда эти компоненты статистически независимы, поскольку любая статистическая связь между ними может существенно изменить общую картину и мы уже не можем считать, что в выходном спектре существуют независимо друг от друга различные разностные и суммарные частоты.

Из всего этого следует, что определение картины спектра после нелинейного преобразования методом сбивания спектральных компонент входа возможно только для гауссовых случайных процессов, ибо только для них эти спектральные компоненты статистически независимы.

Теперь понятно, почему картину выходного спектра в § 14.7, п. 5 мы смогли получить методом сбивания спектральных составляющих и не получили этого для п. 4. Из изложенного ясно, что метод сбивания неприменим также и в случае нестационарных, хотя бы и гауссовых случайных процессов, ибо для них и уже не являются независимыми.

4. Проанализируем теперь сложившуюся ситуацию «на языке» спектральных компонент спектра мощности . Они представляются коэффициентами , входящими в спектральное разложение корреляционной функции

(14.9.5)

Поэтому теперь при нелинейном преобразовании следует рассматривать взаимодействие спектральных составляющих, содержащихся в (14.9.5).

Для гауссова случайного процесса в , согласно (14.5.5), входит слагаемое . Это значит, что процесс детектирования сигнала сопровождается «детектированием» его функции корреляции. Это же имеет место, на основании (14.6.2), и для преобразования с любой степенью нелинейности , например, с § 14.6).

Ситуация, однако, существенно меняется, если мы имеем негауссов случайный процесс. В этом случае выходная корреляционная функция [см. (14.5.4)] зависит не только от , но и от высших кумулянтных функций, которые также дают вклад во все выходные компоненты. Другими словами, здесь возникают негауссовы добавки к результатам сбивания входных компонент корреляционной функции, своего рода «интерференция высших порядков», в результате чего в выходном спектре могут пропадать целые группы спектральных компонент.

Если процесс нестационарен, хотя и гауссов, то из (14.8.1) мы получаем для квадратичного преобразования

Отсюда следует, что при детектировании самого процесса «детектирования» корреляционной функции не происходит. Этого одного уже достаточно для утверждения о неприменимости метода сбивания спектральных компонент для определения спектра на выходе при нестационарном гауссовом входном процессе.

Итак, использование метода сбивания спектральных компонент входного сигнала нелинейностями системы преобразования для получения картины спектра на выходе может быть правильным только для стационарных гауссовых случайных процессов. Этим утверждением и разрешается парадокс.