7.5. Стационарная совокупность двух процессов

1. Совокупность двух случайных процессов , называется сильно стационарной, если ее -моментная плотность вероятности инварианта по отношению к замене последовательности на последовательность , при любом .

Как плотность вероятности , так и кумулянтные функции стационарной совокупности зависят лишь от разностей, входящих в них моментов времени.

Таким образом, стационарная совокупность двух случайных процессов определяется следующим набором кумулянтных функций (здесь введены обозначения :

Отсюда следует, что каждый из процессов, входящих в стационарную совокупность, сам по себе стационарен. Однако обратное в общем случае неверно. Из стационарности случайных процессов по отдельности вовсе не следует стационарность их совокупности. Для того, чтобы стационарные процессы образовали стационарную совокупность, необходимо, чтобы все совместные кумулянтные функции имели вид

(7.5.1)

Первая группа аргументов правой части (7.5.1) (т. е. до точки с запятой) всегда будет относиться к первым индексам (верхнему и нижнему), а вторая группа аргументов — ко вторым.

Будем говорить, что случайные процессы и стационарно связаны, если их совместные кумулянтные функции имеют вид (7.5.1). Таким образом, чтобы стационарные процессы образовали стационарную совокупность, необходимо (и достаточно), чтобы они были к тому же стационарно связаны.

Совокупность двух случайных процессов называется слабо стационарной, если

Два случайных процесса и называются слабо стационарно связанными, если , в то время как высшие совместные кумулянтные функции могут зависеть от времени любым образом. Заметим, что аргумент совместной ковариационной функции всегда будет разностью между аргументом второго индекса (случайного процесса ) и аргументом первого индекса (случайного процесса ).

Нетрудно установить свойства симметрии совместных кумулянтных функций. Принимая во внимание правило аргументов и индексов, а также симметричность кумулянтных функций к любым перестановкам аргументов и их инвариантность к началу отсчета времени, легко обнаружить, например, что

(7.5.2)

В общем случае свойства симметрии могут быть записаны в следующем виде (если на место первого аргумента всегда ставить ноль):

(7.5.3)

Нетрудно проверить, что все эти соотношения, как и должно быть, автоматически переходят в (7.2.1) — (7.2.6), когда .

Все приведенные формулы остаются справедливыми, если вместо кумулянтных функций рассматривать моментные функции

а также и нормированные совместные кумулянтные функции

2. Совместная корреляционная и ковариационная функции стационарной совокупности связаны, согласно (6.5.3), соотношением .

Обратимся к свойствам функций и . Так как их свойства будут полностью совпадать, то в этом параграфе обе функции обозначим черезе .

Если ковариационная и корреляционная функции случайного процесса являлись обязательно четными, то совместные функции могут быть любыми, в том числе и четными и нечетными. Это ведет, в частности, к тому, что относительно ничего определенного сказать нельзя. Эта величина может принимать любые значения, как отрицательные, так и положительные, и также быть равной нулю.

Совместная функция обладает следующими свойствами:

(7.5.4)

Совместную функцию можно однозначным способом разложить на четную и нечетную составляющие:

(7.5.5)

где ноль и единица сверху будут всюду в дальнейшем означать соответственно четную и нечетную функцию аргумента.

Эти функции определяются как

Отсюда следует, что

(7.5.6)

Это, в свою очередь, ведет к

(7.5.7)

Заметим, что как некоторая четная функция необязательно положительно-определенная.