2.6. Свойства кумулянтов одномерного распределения

1. Выясним теперь, какие значения могут принимать различные кумулянты одномерного распределения, в какой степени их можно выбирать независимо друг от друга и как они взаимосвязаны. То обстоятельство, что кумулянты должны подчиняться определенным условиям, следует из положительной определенности характеристической функции

что не позволяет выбирать входящие в нее параметры . произвольным образом. Вместе с этим следует заметить, что свойства кумулянтов изучены совершенно недостаточно. Из литературы известны лишь неравенства (см, например, [42])

Входящие сюда центральные абсолютные моменты сами, очевидно, зависят от кумулянтов .

Очевидно, первый кумулянт может принимать любые значения, лежащие в интервале , и не оказывает никакого влияния на значения высших кумулянтов в силу шестого свойства кумулянтных скобок. В то же время при нахождении необходимых и достаточных неравенств, налагаемых на высшие кумулянты, первый кумулянт необходимо варьировать [36]. Мы здесь для простоты анализа положим его равным нулю. Второй кумулянт для случайных величин всегда положителен . Это дает возможность оперировать с кумулянтными коэффициентами

в виду, что выбирается равным нулю.

Удобным инструментом исследования свойств кумулянтов является неравенство Коши—Буняковского (1.4.4), которому подчиняется кумулянтная скобка второго порядка, поскольку она удовлетворяет всем условиям (1.4.3). Следовательно,

(2.6.1)

2. Положив в (2.6.1) получим

Раскрывая кумулянтные скобки, придем к . Переходя к кумулянтным коэффициентам, найдем

(2.6.2)

Таким образом, коэффициенты асимметрии и эксцесса не могут выбираться совершенно независимо друг от друга. Одновременно кумулянтный коэффициент сам по себе может принимать любые значения в .

На рис. 2.1 изображена область допустимых значений , (она заштрихована), откуда следует, что коэффициент эксцесса всегда ограничен снизу

(2.6.3)

а коэффициент асимметрии может иметь большие (по модулю) значения лишь при больших положительных значениях . Если , то , если , то коэффициент асимметрии может быть только нулем.

3. Положив в (2.6.1) , раскрывая кумулянтные скобки и переходя к кумулянтным коэффициентам, придем к неравенству

(2.6.4)

связывающему при .

Рис. 2.1.

Чтобы определить интервал возможных значений объединим (2.6.2) и (2.6.4), исключив . В результате придем к неравенству

(2.6.5)

связывающему с . Отсюда получаем основное условие, налагаемое на при любых значениях и :

(2.6.6)

Если у вероятностного распределения , то из (2.6.5) следует более сильное ограничение на . Для симметричных распределений из (2.6.4) находим, что . Если же рассматриваются распределения с , то неравенство (2.6.4) дает самое сильное ограничение на кумулянтный коэффициент шестого порядка: .

4. Если далее мы возьмем , то с помощью (2.6.1) получим неравенство

(2.6.7)

связывающее . Извлечение информации из этого неравенства является уже достаточно трудной задачей. Поэтому анализ условий, налагаемых на высшие кумулянтные коэффициенты неравенствами Коши—Буняковского, становится все более громоздким по мере возрастания порядка кумулянтов. Тем не менее можно показать, что все нечетные кумулянтные коэффициенты могут принимать сами по себе любые вещественные значения, а все четные кумулянтные коэффициенты ограничены снизу:

(2.6.8)

Чтобы существенно продвинуться дальше и найти, например, значение , следует избрать другой путь, к которому мы сейчас и перейдем.

5. Покажем, что существует граничное вероятностное распределение, для которого неравенство Коши—Буняковского превращается в равенство, и что этим граничным распределением является распределение бинарной альтернативы:

(2.6.9)

где . Действительно, элементарные вычисления показывают, что

Отсюда

Следовательно, . Таким образом, мы нашли такое вероятностное распределение, кумулянтные коэффициенты которого лежат на границе их возможных значений. Это означает, что неравенства (2.6.1) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы числа могли быть кумулянтными коэффициентами некоторого вероятностного распределения.

С помощью граничного распределения можно выявить интервалы изменения кумулянтных коэффициентов любых вероятностных распределений. В самом деле, для распределения (2.6.9) нетрудно отыскать следующие значения кумулянтных коэффициентов

(2.6.10)

Приняв во внимание, что , обнаружим, что все нечетные кумулянтные коэффициенты могут принимать любые значения в , в то время как все четные кумулянты ограничены снизу минимальным значением, имеющим отрицательную величину. Минимизируя найдем их нижние границы для любых вероятностных распределений:

(2.6.11)

Это совпадает с (2.6.3), (2.6.6) и подтверждает (2.6.8). Вместе с тем, как следует из (2.6.10), нечетные кумулянты могут принимать большие значения по абсолютной величине (г близко к нулю) только при больших положительных значениях четных кумулянтов, как это уже отмечалось при анализе условия (2.6.2).