2.4. Статистический смысл кумулянтов

1. Выше уже указывалось на то, что совместные кумулянты двух случайных величин и отображают их статистическую взаимосвязь. Так, в частности, совместный кумулянт второго порядка описывает коррелированное случайных величин. Рассмотрим теперь более подробно тот смысл статистической взаимосвязи, который представлен кумулянтами высших порядков.

Начнем рассмотрение с анализа взаимосвязи трех случайных величии: . Согласно второй формуле (2.2.3) совместный кумулянт может быть записан в виде

Это соотношение имеет глубокий смысл. Мы уже знаем, что кумулянты второго порядка представляют корреляционную связь соответственно между случайными величинами и и и , так что если случайные величины взаимно некоррелированы, то

С другой стороны, если вообще статистически независимы, то Поэтому кумулянт отличен от нуля, если только рассматриваемые случайные величины, во-первых, статистически зависимы и, во-вторых, если они зависимы более сложным образом, чем это имеет место при их взаимной корреляции. Следовательно, кумулянт описывает более сложную статистическую зависимость, нежели корреляция. Будем говорить, что кумулянт описывает статистическую связь второго порядка между случайными величинами . В соответствии с этим кумулянт второго порядка описывает статистическую связь первого порядка между . Тем самым корреляция в нашей терминологии есть статистическая связь первого порядка, что соответствует ранее указанному понятию линейной корреляции. Совершенно очевидно, что статистические связи первого и второго порядка в определенном смысле независимы. Имеется в виду, что три случайные величины и в общем случае могут быть связаны статистической взаимосвязью второго порядка или нет и независимо от этого иметь или не иметь между собой те или иные статистические связи первого порядка.

Идея о том, что совместный кумулянт описывает статистическую связь соответствующего порядка, весьма плодотворна и подтверждается выписыванием формул для кумулянтов любого порядка. Так согласно третьей формуле (2.2.3) кумулянт следующим образом выражается через момент и кумулянты низших порядков:

(2.4.2)

Отсюда следует, что получается из вычитанием всевозможных статистических связей второго порядка (их четыре), всевозможных статистических связей первого порядка (в различных комбинациях их девять) и, наконец, статистических связей нулевого порядка (по аналогии можно считать, что кумулянты первого порядка описывают связи нулевого порядка). Следовательно, все, что остается в , является статистической связью третьего порядка. И эта связь между может существовать или не существовать независимо от наличия статистических связей низших порядков между этими же случайными величинами.

Вышеприведенные толкования формул (2.4.1), (2.4.2) принадлежат Р. Л. Стратоновичу [5], назвавшему совместный кумулянт корреляцией -го порядка.

Таким образом, четвертое свойство кумулянтных скобок (2.3.1) приобретает совершенно прозрачный смысл: поскольку кумулянт -го порядка представляет собой статистическую связь -го порядка, взаимосвязывающую случайных величин то он, очевидно, и должен быть равен нулю, если хотя бы одна из этих случайных величин (в данном случае статистически независима от всех других.

2. Приведенное толкование кумулянтов как статистических связей соответствующего порядка позволяет дать интересную и содержательную интерпретацию и моментам. Обратимся к формулам (2.2.2) и запишем их, например, для четырех случайных величин :

Момент второго порядка «состоит» из слагаемого, представляющего статистическую связь первого порядка, существующую между и слагаемого, отражающего отсутствие каких-либо статистических связей между . Момент третьего порядка содержит одно слагаемое, представляющее статистическую связь второго порядка, три слагаемых с линейной статистической связью и одно слагаемое, соответствующее статистической независимости случайных величин.

Аналогичная ситуация имеет место и для совместного момента четвертого порядка и т. д.

Важным обстоятельством является то, что все слагаемые в правой части входят в состав момента со знаком плюс. Это значит, что все совместные кумулянты можно рассматривать как «кирпичики», из которых строятся в соответствии с (2.4.3) совместные моменты. Причем в силу обнаруженного выше различного статистического смысла разных кумулянтов эти «кирпичики» можно рассматривать как некоторые, в определенной степени независимые элементы.

Таким образом, хотя совокупность случайных величин может описываться как набором моментов, так и набором кумулянтов и эти два набора формально эквивалентны, предпочтение, несомненно, следует отдать кумулянтам, ибо они, а не моменты, представляют собой своеобразные «независимые координаты» вероятностных распределений, имеющие четкий и самостоятельный смысл.

Последующие главы, где показывается, что существуют удобные уравнения, позволяющие довольно просто выражать различные средние (а не только моменты, как это было до сих пор) через кумулянты случайных величин, также несомненно подтверждают ту особую роль, которую играют кумулянты в статистическом описании случайных переменных.

3. Формулы (2.2.2), как и (2.4.3), справедливы при любых вероятностных распределениях случайных величин. Если задано какое-либо конкретное распределение совокупности случайных величин, т. е. если задан полный набор кумулянтов этой совокупности, то формулы (2.2.2) и, конечно, (2.4.3) также примут конкретный вид в зависимости от тех или иных значений кумулянтов.

Пусть, например, совокупность является гауссовой, для которой все кумулянты порядка выше двух равны нулю. Тогда из (2.4.3) элементарно следует, что выражение для момента второго порядка не изменится, а остальные моменты примут вид

4. Итак, совместные кумулянты описывают те или иные статистические связи, существующие между случайными величинами. Весьма важно теперь дать и количественное описание этих связей, т. е. дать меру статистической связи.

Для статистической связи второго порядка мы уже ввели количественную характеристику — это коэффициент корреляции, равный, согласно (1.4.2),

Точно так же могут быть введены безразмерные коэффициенты, количественным образом характеризующие и статистические связи высших порядков. Назовем совместным кумулянтным коэффициентом порядка

(2.4.4)

При совпадении всех случайных величин (2.4.4) переходит в определенный ранее кумулянтный коэффициент для одной случайной величины (1.2.7). Итак, совместный кумулянтный коэффициент N-гo порядка дает нам количественную характеристику статистической связи -го порядка, существующей между N случайными величинами.