Глава 15. ИНЕРЦИОННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЕЛЫХ ШУМОВ

15.1. Постановка задачи. Метод исследования

1. Всякая реальная динамическая система, будь то линейная или нелинейная, является инерционной. Обратимся, например, к схеме реального детектора (рис. 15.1). Напряжение на выходе системы подчиняется уравнению

(15.1.1)

где — вольт-амперная характеристика диода, а — заданный входной шум. Отсюда видно, что связь между входной и выходной переменными является не только нелинейной, но и инерционной, и эту инерционность мы должны теперь учитывать.

Если отвлечься от того, что переменные и являются случайными процессами, то (15.1.1) есть обычное дифференциальное уравнение первого порядка. Вся трудность заключается в том, что для решения таких уравнений с произвольной функцией не существует каких-либо регулярных количественных методов. Практически чаще всего каждое конкретное нелинейное уравнение приходится решать своими методами. И эта сложность ситуации усугубляется, если уравнение является стохастическим.

Здесь нет возможности получить решение в виде зависимости как функции от и искать статистические свойства непосредственно через статистические свойства . По этой причине единственное, на что здесь можно рассчитывать, — это составление уравнений для статистических характеристик случайных процессов и и их решение теми или иными точными или приближенными методами.

2. Итак, рассмотрим общий вид нелинейного дифференциального уравнения первого порядка, связывающего выходной и входной случайный процессы:

(15.1.2)

Рис. 15.1.

Если есть произвольный случайный процесс, задача отыскания статистических характеристик выходной переменной становится наиболее сложной. В этом случае кумулянтный подход также может быть эффективен, однако для этого требуется введение так называемых стохастических функционалов (см., например, [65, 66]) и разработка техники их кумулянтного анализа [31]. Хотя методы этого анализа близки к предмету настоящей книги, мы здесь не будем их касаться.

Если же является совершенно случайным или марковским процессом, или, наконец, компонентой марковского процесса, чем мы в дальнейшем и ограничимся, то для решения поставленной задачи можно привлечь аппарат теории марковских процессов, развитый в гл. 10, и записать дифференциальные уравнения для кумулянтов и кумулянтных функций искомого случайного процесса , поскольку в этом случае он сам будет или марковским процессом, или его компонентой.

В этой главе мы ограничимся совершенно случайным процессом и приводящим к марковскому процессу , т. е. будем рассматривать инерционное нелинейное преобразование белого шума. Функцию будем предполагать при этом гладкой по всем аргументам.

3. При обращении к реальным системам мы никогда не получим в качестве настоящего совершенно случайного процесса, все времена статистической зависимости которого равны нулю. Любой реальный процесс, каким бы быстрым его нельзя было считать, всегда имеет отличные от нуля значения и времени корреляции, и времен статистической зависимости высших порядков.

Вместе с этим представляется, что такой широкополосный процесс можно аппроксимировать совершенно случайным процессом, если система является достаточно инерционной. Однако все дело в том, что значит «достаточно инерционна».

Очевидно, надо ввести постоянную времени системы и сравнить ее с — максимальным временем статистической зависимости случайного процесса. Если будет много больше , то тогда можно, в принципе, заменить совершенно случайным процессом. Однако при произвольной нелинейной функции и произвольном мы не можем a priorl определить . Чтобы найти эту постоянную времени, надо по существу решить сначала поставленную задачу и затем уже, анализируя полученное значение , которое зависит от параметров , выяснить условия, налагаемые на .

Таким образом, мы должны действовать следующим образом. Предполагая , найти статистические характеристики выходной переменной и в том числе , а затем уже проверить, не противоречит ли полученное значениетс принятому предположению. Это значит, что мы сначала должны решить задачу о воздействии шума на рассматриваемую систему, а затем уже выяснить условия, при которых гладкий шум может быть заменен совершенно случайным процессом. Откладывая выяснение этих условий до следующей главы, будем считать здесь их выполненными и рассматривать как совершенно случайный процесс с нулевым средним значением.

4. Обычно, когда говорят о широкополосном случайном процессе , имеют в виду, как правило, спектр мощности и соответственно малость его времени корреляции. Однако малость времени корреляции не означает малости времен статистической зависимости высших порядков, что только и может определить процесс Е как приближенно совершенно случайный. На языке спектров это означает, что не только спектр мощности — спектр второго порядка — должен быть широкополосным (по сравнению с полосой системы , но широкополосными должны быть также и спектры высших порядков, в принципе (при произвольной функции , все спектры высших порядков. Вместе с этим, конечно, если процесс гауссов, то достаточно лишь малости времени корреляции и широкополосного спектра мощности.

5. Итак, мы имеем марковский процесс, описываемый уравнением (15.1.2). Используя результаты гл. 10, можно написать для этого марковского процесса дифференциальные уравнения его кумулянтов и кумулянтных функций.

Эти уравнения для функции , нелинейной по , являются бесконечной цепочкой зацепляющихся уравнений (нелинейных для кумулянтов и линейных для кумулянтных функций). Это значит, что для точного вычисления хотя бы первых кумулянтов и кумулянтных функций необходимо решить всю бесконечную последовательность уравнений, что невозможно. Следовательно, неизбежен приближенный анализ, при котором полагаются равными нулю все кумулянты и кумулянтные функции, начиная с какого-либо порядка.

Это, в свою очередь, означает, что при анализе марковского процесса, заданного дифференциальным уравнением (15.1.2), мы будем ограничиваться модельными приближениями. Для рассматриваемых далее конкретных примеров будем использовать главным образом гауссово и эксцессное приближения.