10.8. Кинетические уравнения кумулянтных функций

1. Перейдем теперь к составлению уравнений для кумулянтных функций стационарного марковского процесса.

Согласно (7.1.7) кумулянтные функции второго и третьего порядков следующим образом выражаются через моментные:

Дифференцируя по , с помощью (10.7.3) найдем

Итак, вторая кумулянтная функция подчиняется тому же уравнению, что и моментная. Вместестем, учитывая, что [это следует из (10.7.7) при ], правую часть полученного выражения можно выразить через кумулянтную скобку:

(10.8.1)

Дифференцируя по третьи кумулянтные функции и учитывая(10.7.3), (10.7.4), получим

(10.8.2)

Принимая во внимание, что согласно (10.7.7)

а также вторуюформулу (2.2.1), правые части (10.8.2) также можно выразить через кумулянтные скобки:

(10.8.3)

Сравнивая полученные формулы (10.8.1), (10.8.3) с соответствующими формулами (10.7.3), (10.7.4) для моментных функций, видим, что они полностью аналогичны и отличаются лишь тем, что в уравнениях моментных функций слева и справа стоят моментные скобки, а в уравнениях кумулянтных функций — кумулянтные скобки. Эта аналогия опять (ср. с кинетическими уравнениями для моментов и кумулянтов) связана с возможностью замены моментных скобок на кумулянтные, если используются только первые три свойства кумулянтных скобок (2.3.1).

Совершенно аналогично обстоит дело и с кумулянтными функциями высших порядков. Так, например, для трех кумулянтных функций четвертого порядка уравнения эволюции примут вид

(10.8.4)

Произведения кумулянтной функции произвольного порядка равна

(10.8.5)

Таковы уравнения эволюции кумулянтных функций произвольного стационарного марковского процесса.

2. Из полученных уравнений следует, что их решением может быть , если взять настолько большим, чтобы и стали статистически независимыми переменными, поскольку в этом случае все кумулянтные скобки как в левых, так и в правых частях обращаются в нуль. Таким образом, нулевое решение для кумулянтных функций имеет место при .

Правые части уравнений (10.8.1), (10.8.3) — (10.8.5), связывающие кумулянтными скобками , могут быть выражены через те же кумулянтные функции . При этом окажется, что производная какой-либо конкретной кумулянтной функции будет определяться значениями всех остальных кумулянтных функций, и для произвольного марковского процесса все они в общем случае будут отличными от нуля. Таким образом, для нахождения, например, необходимо отыскивать всю совокупность кумулянтных функций. Разумеется, теперь уже можно говорить и о приближенном нахождении, скажем, первых s кумулянтных функций при условии, что все последующие кумулянтные функции (и, разумеется, кумулянты) полагаются тождественно равными нулю (модельное приближение -гo порядка).

3. Обратимся теперь к полученным уравнениям и разомкнем кумулянтные скобки, входящие в их правые части. Эта операция даст нам возможность получить кинетические уравнения для кумулянтных функций, т. е. уравнения, в которых производные кумулянтных функций непосредственно выражаются через значения самих функций.

Начнем с уравнения (10.8.1) для второй кумулянтной функции. Правая часть этого уравнения может быть легко разомкнута, если воспользоваться формулой (7.7.3):

(10.8.6)

Таким образом, приходим к следующему уравнению для ковариационной функции:

(10.8.7)

Здесь опять обозначено .

Полученный результат весьма интересен. Во-первых, видно, что хотя в уравнение для ковариационной функции входят кумулянтные функции всех порядков, относительно них оно является линейным. Во-вторых, из (10.8.7) следует, что коэффициенты, стоящие перед кумулянтными функциями, определяются одномоментным распределением рассматриваемого стационарного марковского процесса, т. е. зависят от кумулянтов распределения.

В-третьих, в (10.8 7) входят кумулянтные функции только одного вида: . Отметим, наконец, что если первый кинетический коэффициент является полиномом, то ряд (10.8.7) будет конечным.

4. Перейдем к уравнению для кумулянтной функции , входящей в (10.8.7). Используя формулу (10.8.6), а также (7.7.7), из второго уравнения (10.8.3) найдем

Учитывая условие , получаем окончательно следующее кинетическое уравнение для третьей кумулянтной функции:

(10.8.8)

Выполняя дифференцирование неполных кумулянтных скобок и учитывая их свойства, находим раскрытый вид формулы (10.8.8):

(10.8.9)

5. Аналогичным образом из третьего уравнения (10.8.4) с помощью (10.8.6), (4.7.18), (7.7.7) выводится уравнение для четвертой кумулянтной функции:

Приняв во внимание (10.7.7) для значении , получим

(10.8.10)

В раскрытом виде [см. (2.8.11)] это кинетическое уравнение выглядит так:

(10.8.11)

Таким образом, уравнения (10.8.8), (10.8.10) также являются линейными по отношению ко всем кумулянтным функциям. В их правые части опять входят только кумулянтные функции вида , а коэффициенты при них зависят от кумулянтов рассматриваемого стационарного марковского процесса. И если все три кинетических коэффициента являются полиномами, то ряды (10.8.8), (10.8.10) также будут содержать конечное число членов.

6. Если теперь обратиться к кумулянтной функции s-гo порядка то кинетическое уравнение для нее будет иметь следующий вид:

(10.8.12)

Таким образом, разложение (10.8.12) при дает бесконечную систему линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка для кумулянтных функций произвольного стационарного марковского процесса.

Тот факт, что уравнения для кумулянтных функций марковского процесса оказались линейными, вообще говоря, представляется удивительным. Следует также иметь в виду, что линейным уравнениям подчиняется лишь временная зависимость кумулянтных функций, в то время как их начальные значения , равные кумулянтам марковского процесса, удовлетворяют согласно (10.6.13) нелинейным уравнениям.

Другими словами, кумулянты марковского процесса двояко влияют на вид кумулянтных функций. Во-первых, через коэффициенты уравнений (10.8.12) они определяют конкретный вид кумулянтных функций и, следовательно, скорость их временной эволюции, а во-вторых, определяют абсолютные величины кумулянтных функций, т. е. их начальные значения. Таким образом, хотя сами кумулянтные функции и подчиняются линейным уравнениям, роль нелинейности системы является тем не менее определяющей.

Обратим внимание на то, что выражения, стоящие в (10.8.12) под знаком дифференцирования, есть не что иное, как соотношения (10.6.24), определяющие значение кумулянтов рассматриваемого стационарного марковского процесса, в которых вместо угловых кумулянтных скобок поставлены круглые скобки .

Это значит, что в сумме (10.8.12) мы можем суммирование начать со значения , поскольку в этом случае круглые скобки перейдут в угловые, и это слагаемое на основании (10.6.24) будет просто равно нулю.

Если, наконец, стационарный марковский процесс является непрерывным, то кинетические уравнения его кумулянтных функций принимают более простой вид:

(10.8.13)

7. Полученные уравнения кумулянтных функций произвольного стационарного марковского процесса позволяют определить и общий вид временной зависимости этих функций. В самом деле, кумулянтные функции подчиняются бесконечной системе линейных уравнений, которую можно записать в виде

(10.8.14)

Коэффициенты системы

зависят только от кумулянтов стационарного марковского процесса.

Решением линейной однородной системы (10.8.14) является последовательность функций

где мы предположили для простоты, что — корни характеристического уравнения бесконечного порядка

(10.8.15)

все являются различными.

Коэффициенты находятся из систеы уравнений

(10.8.16)

Определитель этой системы есть определитель Вандермонда бесконечного порядка. Ясно, что .

Таким образом, общий вид кумулянтной функции s-гo порядка для некратных корней таков :

(10.8.17)

Таким образом, мы определили общую структуру (10.8.17) кумулянтных функций произвольного стационарного марковского процесса. Заметим, что подобная структура для одного частного случая кумулянтных функций — ковариационной функции была ранее установлена Р. Л. Стратоновичем [5].

Основная практическая ценность полученных уравнений заключается в том, что мы всегда можем заменить бесконечную последовательность кумулянтных функций конечным набором, т. е. использовать модельные приближения.

Для этого конечного набора можем определить затем конечный же набор корней характеристического уравнения (10.8.15) и из системы уравнений (10.8.16) найти опять же конечный набор коэффициентов Bsm. В результате этого мы получим кумулянтные функции произвольного марковского процесса в модельном приближении. Именно таким образом мы и будем решать далее конкретные задачи по анализу нелинейных преобразований случайных процессов.