12.8. Эффект денормализации процесса инерционной системой

1. В предыдущем параграфе мы установили, что то или иное преобразование вероятностного распределения линейной системой определяется соотношением . Если , то имеет место нормализация распределения, если же , то согласно (12.7.1) должен иметь место эффект денормализации. Другими словами, линейная система будет денормализовать вероятностное распределение, если она будет укорачивать проходящий через нее элементарный импульс.

Рис. 12.1 и Рис. 12.2.

Таким образом, весь вопрос сводится к тому, может ли инерционная система укорачивать проходящий через нее импульс? На первый взгляд кажется, что нет, ибо инерционность в том и проявляется, что в ответ на некоторый входной импульс система долго «звенит». Расчеты, проведенные в предыдущем параграфе, также показали, что независимо от того, имеет место или всегда не меньше, чем .

Тем не менее, возможна такая ситуация, в которой, несмотря на инерционность системы, возникает укорочение элементарного импульса, и весьма существенное [52, 58, 59].

2. Рассмотрим внимательнее временные характеристики элементарного импульса и линейной системы. Пусть имеем какой-либо импульс , начинающийся в момент (рис. 12.1). Этот импульс принадлежит к первой группе сигналов, имея начало и конец. Для него можно ввести понятие полной длительности импульса таким образом, что для можно считать . Затем существует эффективная длительность сигнала [ср. с (11.2.5)]

(12.8.1)

которая всегда не более , а может быть и существенно меньше.

Существует, наконец, и третья временная характеристика того же самого импульса — его время корреляции, определяемое согласно но (11.2.6) как эффективная длительность функции корреляции импульса

(12.8.2)

где

Время корреляции также не превышает полную длительность и может различным образом соотноситься с ней. Для рассматриваемой ситуации существенным является случай, когда , что верно для импульса сложного типа (см. § 11.2), например, для «белого» шума (рис. 12.2).

Обратимся теперь к линейной инерционной системе, характеризуемой переходной функцией которую также можно описывать эффективной длительностью — временем релаксации системы — и временем корреляции . Между и также возможны различные соотношения в зависимости от типа системы (§ 11.2). Если , то имеется линейная система сложного типа, характеризуемая тем, что ее отклик на входное дельта-воздействие похож на отрезок реализации дельта-коррелированного шума. Для рассматриваемой ситуации опять же существенным является случай линейной системы сложного типа.

Рассмотрим в качестве линейной системы так называемый согласованный фильтр. Под этим термином понимается линейный фильтр, согласованный с сигналом, поступающим на его вход. А именно, если входной импульс обозначить через , то линейный фильтр будет считаться по определению согласованным с этим сигналом, если его переходная функция равна — произвольная временная задержка.

Легко определить выходную реакцию согласованного фильтра на соответствующий входной сигнал

Таким образом, на выходе согласованного фильтра получается функция корреляции того сигнала, с которым согласован фильтр.

Если же на вход такого фильтра подать другой сигнал первой группы, например, , то

т. e. выходная реакция согласованного фильтра на произвольный импульс будет представлять собой совместную функцию корреляции первого рода. Это значит, что согласованный фильтр является попросту коррелятором.

3. Рассмотрим теперь случай, когда линейной системой, преобразующей вероятностное распределение пуассоновского случайного процесса, является фильтр, согласованный с элементарным импульсом входного процесса. Входным импульсом будет , а выходным . В соответствии с (12.8.1) и (12.8.2) эффективная длительность входного импульса равна , а эффективная длительность выходного импульса равна . И если элементарный импульс представляет собой импульс сложного типа, то мы имеем .

Следовательно, налицо сильное укорочение элементарного импульса, и поэтому в соответствии с (12.7.1) должен иметь место эффект денормализации случайного процесса. При этом необходимо отметить, что фильтр, согласованный со сложным сигналом, сам является системой сложного типа, поскольку .

Если же рассматривать прохождение простого импульса через фильтр, согласованный с этим простым импульсом, то никакого укорочения длительности импульса не последует, поскольку для простого импульса , хотя по-прежнему будет .

В чем заключается механизм укорочения импульса? Каким образом инерционная линейная система, реагирующая на дельтаимпульс продолжительным откликом длительностью выдает в ответ на сложный импульс гораздо более короткий отклик длительностью ?

Конечно, не следует думать, что рассматриваемое укорочение означает, что вне интервала на выходе системы сигнал равен нулю. Если искать полную длительность импульса, то для выходного импульса полная длительность, разумеется, гораздо больше не только , но и , поскольку выходной сигнал должен существовать еще время спустя после того, как закончился импульс, поданный на вход рассматриваемой системы (рис. 12.3). Однако в преобразовании вероятностных распределений основную роль играет не полная длительность импульса, а длительность , определенная формулой (12.8.2) и являющаяся, по существу, энергетической длительностью, т. е. тем интервалом времени, в котором содержится подавляющая часть энергии импульса.

Именно эта длительность и укорачивается, в то время как полная длительность импульса, как и должно быть, всегда увеличивается щи прохождении сигнала через инерционную линейную систему.

Рис. 12.3.

4. В литературе (см., например, [8, 9]) почти повсеместно условием нормализации считается условие инерционности системы по сравнению с временем корреляции входного процесса. Для рассматриваемых здесь пуассоновских случайных процессов время корреляции входного процесса есть не что иное, как время корреляции элементарного входного импульса . Тем самым, это общепринятое условие нормализации имеет вид

(12.8.3)

Допустим, что это условие выполнено, и рассмотрим, действительно ли всегда это условие сопровождается нормализацией.

Случай I. Простой импульс и простая система:

и, таким образом, в этом случае условие (12.8.3) действительно ведет к нормализации.

Случай II. Простой импульс и сложная система:

и, следовательно, опять имеем нормализацию.

Случай III. Сложный импульс и простая система:

В общем случае ситуация не определена. Может быть как денормализация, так и нормализация. В последнем случае должно быть , — система должна быть сильно инерционной не только по сравнению с временем корреляции входа, но и по сравнению с длительностью входного импульса.

Случай IV. Сложный импульс и сложная система:

В общем случае ситуация не определена. Все зависит от того, чему равно Твых, поскольку неравенство (12.8.3) никаких ограничений на отношение не накладывает. Если , для чего, по крайней мере, необходимо, чтобы , то будет нормализация; если же , как, например, это имеет место для согласованного фильтра, для которого

(12.8.4)

то получим денормализацию. Причем особенно интересно отметить, что чем сильнее выполнено неравенство (12.8.3), тем в этом случае, согласно (12.8.4), сильнее денормализация. Следовательно, в случае сложных импульсов и согласованных фильтров общепринятое условие нормализации (12.8.3) является на самом деле условием денормализации.