2.3. Свойства кумулянтных скобок

1. Пусть — случайные величины из какой-либо совокупности , в то время как — детерминированные величины. Пусть также — случайная величина, статистически независимая от всех величин, входящих в совокупность . Покажем, что кумулянтные скобки обладают следующими свойствами:

(2.3.1)

Первое свойство следует из симметричности совместного кумулянта (2.1.2) по отношению к парам индексов . Оно означает, что кумулянта скобка инвариантна к любой перестановке ее аргументов, например,

Второе и третье свойства кумулянтных скобок можно доказать основании определения совместного кумулянта (положив ) и структуры логарифма характеристической функции (1.6.1). Из этих свойств следует, что кумулянтная скобка по отношению к какому-либо отдельному аргументу является линейным оператором:

Это чрезвычайно упрощает оперирование с кумулянтными скобками.

Первые три свойства (2.3.1), очевидно, справедливы и для моментных скобок .

Четвертое свойство доказывают следующим образом. Пусть цифры 1, 2, 3, . обозначают какие-либо случайные величины из совокупности . Тогда из первой формулы (2.2.3) следует, что . Используя это, с помощью второй формулы (2.2.3) находим . Из третьей формулы получим и т. д. Учитывая теперь первое свойство (2.3.1), приходим к четвертому, смысл которого очевиден: совместный кумулянт какой-либо совокупности случайных величин равен нулю, если в эту совокупность входит случайная величина, статистически независимая от всех других.

Если теперь рассмотреть две взаимно независимые совокупности случайных величин , то аналогичным образом можно доказать, что обобщением четвертого свойства кумулянтных скобок является выражение

Пятое свойство легко получить как следствие четвертого, приняв во внимание, что детерминированную величину можно рассматривать как случайную, статистически независимую от всех других. Пятое свойство, как и первые три, существенно упрощает использование кумулянтных скобок.

Шестое свойство является следствием третьего и пятого.

Второе и шестое свойства показывают определенную инвариантность кумулянтных скобок. Эта инвариантность кумулянтов к переносу начала отсчетов и изменению масштабов случайных величин и послужила поводом к тому, что кумулянты называют также и семиинвариантами (см., например, [13, 14]).

Пример 2.3.1. Пусть случайная величина претерпевает преобразование . Тогда

Таким образом, кумулянты случайной величины (разумеется, начиная со второго) не изменяются при сдвиге случайной переменной на детерминированную величину.

Шестое свойство, следовательно, обобщает эту инвариантность на случай многомерного распределения.

2. Совпадение первых трех свойств (2.3.1) для кумулянтных и моментных скобок имеет далеко идущие последствия. Так, если какие либо выражения для моментов некоторого вероятностного распределения получены при использовании только первых трех свойств (2.3.1), например, при совершении линейных операций над аргументами моментных скобок, то в точности такие же выражения справедливы и для кумулянтов. По этой причине они могут быть получены из выражений для моментов простой заменой точек на запятые во всех моментных скобках данного выражения.

Пример 2.3.2. Пусть требуется найти кумулянты случайной величины . Решим сначала соответствующую задачу для моментов

(2.3.2)

При получении этого выражения, т. е. при сведении моментной скобки

использовались только второе и третье свойства. Это значит, что теперь можно в правой и левой частях полученной формулы (2.3.2) заменить моментные скобки на кумулянтные. Это сразу же приведет нас к решению поставленной задачи:

(2.3.3)

Таким образом, кумулянт суммы зависит не только от кумулянтов каждой случайной величины в отдельности, но и от всех совместных кумулянтов.

В последующем изложении мы неоднократно будем использовать указанную возможность замены моментных скобок на кумулянтные.

3. Распространим некоторые свойства кумулянтных скобок на векторные случайные величины. Пусть задана совокупность случайных величин . При этом будем иметь в виду, что вектор есть вектор-столбец (матрица-столбец)

в то время как транспонированный ему вектор есть вектор-строчка (матрица-строчка) .

Среднее значение случайных векторов и по определению есть векторы соответственно столбец и строчка, компонентами которых служат средние значения .

Чтобы получить из двух случайных векторов и (обладающих, в общем случае, различным числом компонент), матрицу моментов второго порядка следует матрично умножить на и результат усреднить. Тогда по правилам умножения матриц

Свойство симметричности второго момента для матрицы вторых моментов выглядит, как легко проверить, так:

Матрицу вторых кумулянтов - ковариационную матрицу — можно построить совершенно аналогично:

Для матрицы кумулянтов второго порядка справедливы те же соотношения симметрии

Если теперь рассмотреть матрицы и , то с их помощью можно построить другие векторы если только число столбцов этих матриц равно числу строк соответствующих векторов (будем полагать эти условия выполненными). Матрица моментов второго порядка этих векторов равна

Эта формула сохраняется и для кумулянта второго порядка:

Таким образом, не только детерминированные коэффициенты, но и детерминированные матрицы можно выносить за кумулянтные скобки.

Аналогичным образом можно показать, что