14.5. Примеры нелинейного преобразования негауссовых процессов

1. Используем теперь полученные в предыдущем параграфе формулы для нахождения корреляционных и ковариационных функций выходных переменных некоторых конкретных нелинейных преобразований при произвольном вероятностном распределении на входе.

Простейшим нелинейным преобразованием является квадратичное преобразование , с которого мы и начнем, поставив задачу отыскания ковариационной функции .

Для решения этой задачи воспользуемся формулой (14.3.6), где положим . Правая часть (14.3.6) будет отлична от нуля для и равна нулю для , поэтому зависимости от кумулянтных функций входа соответствует при для .

Тогда кумулянтные уравнения принимают вид

Учитывая, что должна обращаться в нуль при равенстве нулю кумулянтных функций входа, из полученных уравнений элементарно находим

(14.5.1)

Такова ковариационная функция выхода квадратичного преобразования при произвольном случайном процессе на входе. Она определяется не только ковариационной функцией входа, но и в существенной степени высшими кумулянтными функциями, а именно, функциями третьего и четвертого порядка. Таким образом, знание высших кумулянтных функций становится необходимым для нахождения выходной ковариационной функции. Вместе с этим, если у различных негауссовых входных процессов первые четыре кумулянтные функции совпадают, в то время как все остальные различны, совпадать будут и выходные ковариационные функции.

Чтобы записать теперь корреляционную функцию, нужно к правой части (14.5.1) прибавить слагаемое

Следовательно,

(14.5.2)

Заметим, что это выражение для корреляционной функции может быть получено и с помощью третьей формулы (2.2.2), в которой следует положить и затем воспользоваться вторым свойством кумулянтных скобок.

Если входной процесс является стационарным, то

(14.5.3)

Корреляционная функция соответственно равна

(14.5.4)

Если входной процесс к тому же гауссов, то (14.5.3) принимает широко известный вид:

(14.5.5)

Однако эта формула справедлива не только для гауссова процесса . Если негауссов процесс таков, что его третьи и четвертые кумулянтные функции тождественно равны нулю, в то время как кумулянтные функции более высоких порядков отличны от нуля, то, как следует из (14.5.3), мы по-прежнему будем иметь (14.5.5).

2. Пусть на вход квадратичного детектора поступает негауссов случайный процесс , подвергнутый инерционному линейному преобразованию

где — стационарный дельта-процесс с кумулянтными функциями

Учитывая, что кумулянтные функции стационарного процесса заданы выражениями (12.3.6)—(12.3.8), на основании (14.5.3) найдем следующее значение ковариационной функции на выходе детектора :

3. Рассмотрим теперь квадратичное детектирование пуассоновского телеграфного сигнала, принимающего равновероятно значения и имеющего в среднем перемен знака в единицу времени. Этот случайный процесс имеет симметричное распределение, и его кумулянтные функции второго и четвертого порядка даются формулами [см. (7.4.9), (7.4.11)]

Согласно (14.5.3) ковариационная функция на выходе равна

Таким образом, в рассматриваемом случае на выходе квадратичного преобразователя никакого случайного процесса нет вообще, поскольку только в этом случае ковариационная функция тождественно равна нулю. Полученный результат очевиден, поскольку в данном случае на выходе квадратичного детектора присутствует только постоянная составляющая — «постоянный ток».

Как следует из (14.5.3) и (14.5.5), подобная ситуация, в которой происходит своеобразная «компенсация» кумулянтных функций, может иметь место только для негауссова . При гауссовом входе на выходе квадратичного детектора всегда будет присутствовать шум.

4. Пусть нелинейное преобразование стационарного процесса определяется законом . Найдем корреляционную функцию выходного процесса .

На основании (14.3.7)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

(14.5.6)

Рис. 14.2

Отсюда следует, что зависит, во-первых, от всех кумулянтных функций входа и, во-вторых, эти кумулянтные функции входят во всех сочетаниях их аргументов. Значит, при таком нелинейном преобразовании выходная корреляционная функция «чувствительна» ко всем кумулянтным функциям входного процесса. Это обстоятельство связано с тем, что преобразование содержит все «степени нелинейности».

Поскольку корреляционная функция любого стационарного случайного процесса является четной функцией , постольку четной функцией должна быть и правая часть (14.5.6) независимо от взаимоотношения входящих в нее кумулянтных функций различных порядков. Это означает, что четными функциями должны быть все суммы, входящие множителями перед . Если вспомнить свойства симметрии кумулянтных функций, представленные формулами (7.2.8), (7.2.9), то легко убедиться, что сумма

действительно, есть четная функция при любых .

5. Рассмотрим следующую задачу. Пусть на входы системы, изображенной на рис. 14.2, подаются два случайных стационарных, в общем случае взаимосвязанных, процесса и . Требуется найти корреляционную и ковариационную функции выходного случайного процесса . Положим для простоты, что .

Воспользовавшись формулой (14.5.3), сразу же можно записать

где .

Используя (12.5.2), получим

Слагаемые во второй фигурной скобке обусловлены наличием статистической взаимосвязи входных процессов. Если и статистически независимы, то