14.10. Преобразование спектров гауссовых шумов

1. В § 14.7 мы рассмотрели общие закономерности преобразования спектров нелинейными безынерционными системами и нашли, что в общем случае спектр мощности на выходе системы зависит от всех спектров негауссова входного стационарного шума . Если же входной процесс гауссов, то выходной спектр полностью определяется всего одним спектром мощности . В этом случае мы можем получить наиболее полную и доступную информацию о зависимости выходного спектра от входного, и наша задача теперь заключается в отыскании вида этой зависимости для широкого класса нелинейных безынерционных преобразований.

2. Итак, пусть дано нелинейное безынерционное преобразование случайного стационарного гауссова процесса .

Корреляционная функция выходной переменной согласно (14.6.2) представляется рядом

(14.10.1)

коэффициенты которого зависят только и сумму которого можно записать как

(14.10.2)

где — некоторая функция, определяемая конкретным видом преобразования.

Совершая косинус-преобразование Фурье от обеих частей

(14.10.1) и воспользовавшись операцией свертки, найдем

(14.10.3)

что также может быть представлено в виде

(14.10.4)

если учесть свойства свертки дельта-функции. Таким образом, выходной спектр есть сумма автосверток входного спектра.

Сравнивая полученный ряд с (14.10.1) и (14.10.2), можно формально ввести сумму ряда (14.10.4) как

(14.10.5)

Смыслом этой краткой записи, тем не менее, остается ряд (14.10.4), ибо другого рецепта раскрытия этой формулы нет.

Из сравнения (14.10.1) и (14.10.3) видно, что слагаемому соответствует слагаемое . Следовательно, степени нелинейности корреляционной функции соответствуют биения -го порядка спектральных компонент . Тем самым, спектр может рассматриваться как результат соответствующих взаимодействий спектральных компонент, входящих в .

3. Перейдем теперь к рассмотрению ряда конкретных примеров. Нелинейное преобразование низкочастотного шума. Пусть входной шум имеет спектральную плотность

(14.10.6)

Полоса этого шума равна (в области положительных значений ) , и он может образоваться в результате прохождения белого шума через — фильтр нижних частот. Подвергнем этот нелинейному преобразованию.

Возьмем сначала идеальный квадратичный детектор с характеристикой . Согласно (14.10.3) выходной спектр будет содержать два слагаемых:

(14.10.7)

— постоянную составляющую и автосвертку входного спектра. Свертку спектров (14.10.6) можно искать двояко. Во-первых, можно ее вычислять непосредственно, используя определение свертки как интеграла. Во-вторых, можно обойти это интегрирование, если сначала найти функцию ковариации , а затем взять ее сопряженную Фурье.

Второй путь гораздо проще, и мы воспользуемся им, тем более, что нам известно выражение для корреляционной функции входа, соответствующей спектру (14.10.6):

Значит, согласно (14.10.1)

Следовательно,

(14.10.8)

Сравнивая (14.10.7) с (14.10.8), видим, что выражение, стоящее в фигурных скобках, является автосверткой спектра (14.10.6).

Интересно отметить, что флуктуационная часть выходного спектра по-прежнему имеет резонансную форму, но уже удвоенной ширины. Это связано с экспоненциальным видом входной корреляционнойфункции. Поэтому при любом нелинейном степенном преобразовании шума, обладающего резонансной формой спектра, мы всегда получим спектр, состоящий из суперпозиции резонансных кривых различной высоты и ширины.

Получившееся уширение выходного спектра по сравнению с входным является характернейшей чертой нелинейных безынерционных преобразований (см. также ниже п. 4).

Если квадратичный детектор обладает «реальной» характеристикой

то

Дополнительное слагаемое в этом выражении пропорционально входному спектру.

Для преобразования входного шума полиномиальной нелинейностью

в соответствии с (14.6.5)

где .

Спектральная плотность выходного процесса равна

Поскольку

то, следовательно,

(14.10.9)

Спектр на выходе системы с полиномиальной нелинейностью представляет собой суперпозицию резонансных кривых возрастающей ширины.

Нелинейное преобразование узкополосного шума. В § 14.7 мы уже рассматривали идеальное детектирование узкополосного шума, имеющего прямоугольный спектр, и получили картину выходного спектра, изображенную на рис. 14.6. Кроме постоянной составляющей, спектр содержал разностные частоты, примыкающие к нулю, а также суммарные частоты, расположенные около удвоенного значения центральной частоты. Как хорошо известно, прямоугольная форма спектра не является физически корректной идеализацией, поэтому представляет интерес рассмотреть детектирование узкополосного шума, обладающего реальной формой спектра.

Рассмотрим стационарный узкополосный шум, спектр которого сосредоточен около частоты , и пусть для простоты этот спектр симметричен относительно . В этом случае (см., например, [35]) корреляционная функция рассматриваемого шума равна

(14.10.10)

где — четная, медленно меняющаяся по сравнению с функция, сопряженная Фурье которой определяет форму спектра (рис. 14.9).

Рис. 14.9.

Возводя (14.10.10) в степень, найдем

(14.10.11)

Подставляя (14.10.11) в (14.10.1) и группируя слагаемые, получим

(14.10.12)

где — четные функции, равные

Таким образом, представляет собой суперпозицию нечетных степеней , начиная со степени , и — суперпозицию четных степеней , начиная с .

Выполняя преобразование Фурье ряда (14.10.12), найдем спектральную плотность выходного случайного процесса

(14.10.13)

где

(14.10.14)

есть низкочастотная часть спектра, примыкающая к нулевой частоте, а спектры группируются около частот , и их форма равна

(14.10.15)

Таким образом, выходной спектр состоит из постоянной составляющей, низкочастотной компоненты и высокочастотных компонент . Форма каждой компоненты при этом представляет суперпозицию автосверток формы спектра входного сигнала. Общий вид входного и выходного спектра указан на рис. 14.9.

Для дальнейшей конкретизации выходного спектра следует задать вид нелинейного преобразования и форму входного спектра.

Квадратичное детектирование узкополосного шума. Пусть входной шум обладает спектральной плотностью

(14.10.16)

с шириной спектра . Форма спектра , соответствующая (14.10.16), равна

Если квадратичный детектор является идеальным, то и на выходе детектора согласно (14.10.13) - (14.10.15), кроме постоянной составляющей, будет низкочастотный шум со спектральной плотностью

а также высокочастотный шум со спектром, сосредоточенным около , форма которого равна

Таким образом, обе компоненты спектра выходного шума имеют также резонансную форму удвоенной ширины. Полный спектр запишется, следовательно, как

(14.10.17)

Сравнивая полученную картину с рис. 14.6, мы видим, к чему привела гладкость спектра входного сигнала: вместо «треугольников» выходного спектра, соответствующих прямоугольной форме входного спектра, мы имеем повторение резонансной формы.

Если искать распределение выходной мощности по трем слагаемым выходного спектра: постоянной составляющей, низкочастотной и высокочастотной, то нетрудно обнаружить, что она распределяется между этими компонентами поровну.

При детектировании шума со спектром (14.10.16) реальным квадратичным детектором в выходной спектр (14.10.17), во-первых, добавится слагаемое, пропорциональное входному спектру, равное , и, во-вторых, изменится постоянная составляющая, которая теперь будет равна . Таким образом, на выходе реального квадратичного детектора опять присутствует не только «продетектированный» спектр, но и входной спектр непосредственно.

Спектр на выходе линейного детектора. На основании (14.6.6), (14.6.7)

(14.6.7)

Следовательно, согласно (14.10.5)

Если на входе линейного детектора присутствует узкополосный шум, то картина преобразования спектров будет иметь вид, изображенный на рис. 14.9, где из всех нечетных компонент будет входить только . Если провести анализ состава резонансных форм, входящих в виде суперпозиции в ту или иную компоненту выходного спектра, то можно составить таблицу

показывающую, какой ширины резонансные кривые вносят вклад в соответствующую компоненту.

Если входной шум обладает спектральной плотностью (14.10.16), то можно показать, что низкочастотная компонента выходного спектра равна

Этот ряд довольно быстро сходится, так что можно принимать во внимание лишь первые слагаемые.

Преобразование спектра сильным ограничителем. Согласно

(14.6.8), (14.6.9) корреляционная функция на выходе сильного ограничителя равна

Соответственно

Поскольку в входят только нечетные степени корреляционной функции входа, то на выходе, при узкополосном сигнале на входе, мы не получим ни постоянной составляющей, ни низкочастотной компоненты, а будут присутствовать только нечетные компоненты .

Если выписать компоненту , то согласно (14.10.15) можно найти, что если дается формулой (14.10.16), то форма спектра будет иметь вид

4. Для случайных процессов , спектр которых примыкает к нулю, можно получить некоторые интересные общие закономерности, не конкретизируя ни точного вида спектра, ни характера нелинейности. Нетрудно понять, что выходной спектр при любой нелинейности также будет примыкать к нулю, поскольку он получается в результате суперпозиции автосверток . Обозначим полосу входного спектра через , определив ее соотношением

(14.10.18)

Полосу выходного спектра обозначим через , определив ее таким же образом через спектр (мы сейчас не рассматриваем возможную постоянную составляющую на выходе). Введем также времена корреляции входного и выходного случайных процессов

Поставим теперь задачу отыскания взаимосвязей между и или между и , не конкретизируя вида входного спектра. Соотношение (14.10.18) может быть записано в виде

Таким образом, время корреляции входного случайного процесса может быть определено и как

Время корреляции выходного процесса находится из аналогичного соотношения при замене .

Вследствие того, что

времена корреляции выхода и входа нелинейной системы связаны соотношением

Поскольку на основании (14.6.12)

то получаем окончательно следующее соотношение между и [63]:

(14.10.19)

Можно показать, что правая часть этого равенства всегда не более единицы. По этой причине .

Этот результат нетрудно понять, если учесть, что представляет собой ряд по степеням автосверток , а всякая свертка может только расширять спектр за счет возникновения комбинационных частот. Следовательно, в общем случае любое безынерционное нелинейное устройство может лишь расширять входной спектр.

Пусть гауссов шум, обладающий спектром, сосредоточенным около нулевой частоты, преобразуется нелинейным устройством нечетной степени . Поскольку

то согласно (14.10.19)

Соответственно ширина спектра шума на выходе рассматриваемого нелинейного устройства будет связана с шириной входного шума соотношением

и будет сколь угодно увеличиваться при . Таким образом, нелинейное устройство с характеристикой может быть использовано для получения шума с достаточно широким спектром.

5. Также нетрудно в общем виде определить и закон спадания «крыльев» спектра , если этот закон известен для . В самом деле, как известно, поведение при определяется поведением при , а именно, для достаточно больших со имеет место соотношение [35]

Следовательно, принимая во внимание (14.6.12), находим

Таким образом, закон спадания спектра при в точности совпадает с соответствующим законом для . Характером нелинейности безынерционной системы определяется лишь коэффициент пропорциональности.

Это обстоятельство хорошо видно из сравнения значений с , полученных в рассмотренных примерах этого параграфа, а особенно из сравнения (14.10.6) с (14.10.9).