10.11. Кинетические уравнения кумулянтных функций многомерного марковского процесса

1. Двумоментная плотность вероятности многомерного марковского процесса

на основании (10.9.1) удовлетворяет тому же кинетическому уравнению, что и плотность вероятности переходов:

Если кинетический оператор не зависит от времени и мы рассматриваем стационарный марковский процесс , то

(10.11.1)

2. Это кинетическое уравнение дает возможность записать уравнения эволюции моментных и кумулянтных функций стационарного многомерного марковского процесса. Для среднего значения произвольной функции , где , на основании (10.11.1) имеем уравнение

(10.11.2)

обобщающее (10.7.2) на многомерный процесс. Полагая,

где через обозначены компоненты , а указывает на компоненты , найдем с помощью (10.11.2) и (10.9.3) — произвольная компонента :

(10.11.3)

и (симметризация идет по буквенным индексам)

(10.11.4)

Далее можно найти

В общем случае

(10.11.5)

3. Для двумерного марковского процесса уравнение моментной функции общего вида на основании (10.11.5) таково:

Отсюда, в частности, получаем

Уравнения для важнейших характеристик двумерного марковского процесса — корреляционных функций — имеют вид

(10.11.6)

4. Перейдем теперь к кумулянтным функциям, уравнения эволюции для которых получаются для многомерного марковского процесса таким же образом, как и для одномерного — заменой моментных скобок на кумулянтные. Из (10.11.3), (10.11.4) получаем

(10.11.7)

Если все компоненты в этих формулах равны, то они переходят в (10.8.5), где следует положить .

Чтобы от уравнений эволюции (10.11.7) перейти к кинетическим уравнениям, которые в конце концов нас и интересуют, необходимо правые части (10.11.7) выразить через кумулянтные функции марковского многомерного процесса. Для этого следует провести операцию размыкания кумулянтных скобок, воспользовавшись результатами, полученными в § 4.7, и учесть, что кумулянты стационарного марковского процесса подчиняются уравнениям (10.10.13).

Начнем с первой формулы (10.11.7). Используя формулу (4.7.10) и полагая в ней . придем к следующему кинетическому уравнению для совместной кумулянтной функции второго порядка:

(10.11.8)

Таким образом, эволюция совместной ковариационной функции определяется всеми кумулянтными функциями многомерного марковского процесса

Вторая формула (10.11.7) приводит нас с помощью (4.7.10), (4.7.18) и с учетом (10.10.13) к кинетическому уравнению для совместных кумулянтных функций третьего порядка:

(10.11.9)

Совершенно аналогично при использовании (4.7.19) и (10.10.13) третья формула (10.11.7) для кумулянтных функций четвертого порядка примет вид

(10.11.10)

Наконец, в общем случае с помощью (4.7.20) и (10.10.13) получим:

(10.11.11)

Таким образом, и для многомерного марковского процесса кинетические уравнения кумулянтных функций являются линейными. При этом и в левые, и в правые части уравнений (10.11.8) — (10.11.11) входят одни и те же кумулянтные функции: их первый аргумент берется в момент времени , а все остальные аргументы (одинаковые или различные) в момент .

И если теперь последовательность кумулянтных функций оборвать на каком-либо порядке (а это единственный практический способ их отыскания), т. е. если использовать модельное приближение какого-либо порядка для исследуемого марковского процесса, то полученная конечная система уравнений будет замкнутой.

Интересно отметить также, что если бы мы захотели записать кинетические уравнения для моментных функций, то мы получили бы и для них систему линейных уравнений. В самом деле, используя (3.4.6), где следует положить , нетрудно найти следующее разложение моментной функции через кумулянтные ( — произвольная компонента ):

(10.11.12)

Эта формула четко показывает взаимную линейную связь между моментными и кумулянтными функциями рассматриваемого вида. Тем самым, линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка для кумулянтных функций (10.11.8)—(10.11.11) с помощью (10.11.12) перейдут в линейную же систему кинетических уравнений и для моментных функций.

5. Для двумерного стационарного марковского процесса кинетические уравнения для кумулянтных функций второго, третьего и четвертого порядков на основании (10.11.8) — (10.11.10) принимают следующий вид:

(10.11.13)

(10.11.14)

(10.11.16)

В этих формулах

а кинетические коэффициенты соответственно принимают значения

Симметризация идет по буквенным индексам. Тем самым, формула (10.11.13) содержит четыре кинетических уравнения (для четырех ковариационных функций), формула (10.11.14) — шесть уравнений, а формула (10.11.15) — восемь.

Аналогичным образом на основании (10.11.11) могут быть записаны уравнения и для кумулянтных функций произвольного порядка.

6. Для удобства дальнейшего использования формул (10.11.13) — (10.11.15) приведем их в раскрытом виде для гауссова и эксцессно-го приближения двумерного стационарного марковского процесса .

В гауссовом приближении, когда отличными от тождественного нуля мы полагаем только кумулянтные функции второго порядка, уравнения (10.11.13) принимают вид

(10.11.16)

При записи кинетических урвнений для кумулянтных функций в эксцсссном приближении во избежание излишней громоздкости мы ограничимся раскрытием только правых частей уравнении.

Так, формула (10.11.13) приводит к

(10.11.17)

Уравнения для шести кумулянтных функций третьего порядка, вытекающие из (10.11.14), таковы:

(10.11.18)

При конкретизации компонент следует воспользоваться формулами дифференцирования неполных кумулянтных скобок (2.8.11).

Уравнения для восьми кумулянтных функций четвертого порядка, получаемые из (10.11.15) в эксцессном приближении, имеют следующий вид:

(10.11.19)

Здесь также необходимо воспользоваться формулами (2.8.11) для вычисления производных от неполных кумулянтных скобок при конкретизации компонент .