15.2. Гауссово приближение

1. В этом параграфе мы проанализируем эволюцию кумулянтов и кумулянтных функций процесса , заданного уравнением

(15.2.1)

ограничившись гауссовым приближением, т. е. считая отличными от нуля только первые два кумулянта

и кумулянтную функцию .

Уравнения эволюции первых двух кумулянтов согласно (10.6.9), (10.6.10) имеют вид

где усреднение производится в предположении гауссовости . Используя формулу (4.7.8), получим более удобный вид уравнений эволюции среднего и дисперсии:

(15.2.2)

Здесь штрих соответствует дифференцированию по .

Отсутствие в (15.2.2) высших кинетических коэффициентов означает, что в гауссовом приближении марковский процесс считается также и непрерывным. Поэтому нам необходимо знать только первые два кинетических коэффициента. Это значит, что мы можем полагать гауссовым дельта-коррелированным процессом, характеризуемым одним коэффициентом интенсивности .

Если кинетические коэффициенты не зависят от времени: , а этим случаем мы и ограничимся далее, и с течением времени переходные процессы, связанные с произвольными начальными условиями, заканчиваются, то мы придем к стационарному процессу, обладающему установившимися значениями среднего и дисперсии:

Поскольку средние зависят только от и то удобно для дальнейшего ввести специальные обозначения:

С учетом этих обозначений получаем следующие кинетические уравнения для среднего и дисперсии негауссового марковского процесса в гауссовом приближении:

(15.2.3)

Установившиеся значения кумулянтов находятся из уравнений

(15.2.4)

2. Для исчерпывающего описания стационарного марковского процесса необходимо еще определить ковариационную функцию . Согласно (10.8.7) уравнение для ковариационной функции в гауссовом приближении имеет вид

(15.2.5)

Решая уравнение (15.2.5) при начальном условии , придем к следующему виду ковариационной функции :

Итак, мы получили исчерпывающую информацию о стационарном марковском процессе в гауссовом приближении. Его среднее значение и дисперсия определяются уравнениями (15.2.4); он имеет экспоненциальную ковариационную функцию; его время корреляции и энергетическая полоса спектра равны соответственно

(15.2.7)

в то время как спектральная плотность равна

(15.2.8)

Поскольку зависят от — интенсивности воздействующего совершенно случайного процесса, то от будут зависеть и время корреляции, и полоса марковского процесса.

Эти зависимости

(15.2.9)

специфичны именно для нелинейного инерционного преобразования . По существу вся нелинейность системы (15.2.1) сказывается в рассматриваемом приближении именно в зависимостях (15.2.9), поскольку вид ковариационной функции (15.2.6) характерен для линейной системы.

3. Последнее обстоятельство наводит на мысль о том, что выбор гауссова приближения для описания марковского процесса, заданного уравнением (15.2.1), эквивалентен замене рассматриваемой нелинейной системы некоторой линеаризованной системой, т. е. замене нелинейной функции некоторой ей эквивалентной [с точки зрения полученных результатов линейной функцией.

Не представляет особого труда найти эту эквивалентную линейную систему. Исходя из (15.2.5), легко сообразить, что такая система описывается уравнением

(15.2.10)

где — некоторый коэффициент, зависящий в общем случае от среднего и дисперсии, а — тот же самый гауссов дельта-коррелированный процесс с интенсивностью .

Вообще говоря, систему (15.2.10) следует полагать , ибо ее параметры и зависят от характеристик исследуемого случайного процесса . Вместе с этим, эту нелинейность можно считать в определенном смысле «инерционной» нелинейностью или, лучше сказать, «усредненной» нелинейностью, так как параметры , В зависят не от мгновенных, а от усредненных значений случайного процесса . В то же время, если бы процесс был эргодическим, мы, действительно, имели бы «чистый» случай инерционной нелинейности.

Таким образом, гауссову приближению соответствует замена нелинейной системы линейной системой с усредненной нелинейностью.

Эквивалентность систем (15.2.1) и (15.2.10) позволяет без труда определить коэффициент В . В самом деле, из (15.2.10) элементарно следует, что спектральная плотность флуктуационной части процесса равна

где в силу дельта-коррелированности шума его спектральная плотность . Сравнивая это выражение с (15.2.8) и учитывая второе уравнение (15.2.4), найдем, что

(15.2.11)

Заметим также, что на основании (15.2.7) и (15.2.11) для энергетической полосы спектра марковского процесса можно записать другое, более удобное выражение

(15.2.12)

4. Рассмотрим в качестве примера часто встречающееся в приложениях уравнение

(15.2.12)

где как мы уже знаем, достаточно в рассматриваемом приближении считать гауссовым дельта-коррелированным процессом с интенсивностью .

В этом случае и первые два кинетических коэффициента марковского процесса согласно равны — Соответственно

(15.2.14)

а процесс установления стационарных значений среднего и дисперсии марковского процесса описывается согласно (15.2.3) уравнениями

(15.2.15)

Установившиеся значения кумулянтов определяются выражениями

Отсюда находятся зависимости , позволяющие с помощью (15.2.7), (15.2.12) представить полосы спектра исследуемого случайного процесса в следующем виде:

(15.2.16)

Таким образом, полоса выходного процесса будет возрастать или уменьшаться с ростом интенсивности воздействующего шума в зависимости от того, как быстро растет с ростом дисперсия выхода.

Поскольку полоса входного спектра неограничена, то можно рассматривать теперь и как полосу системы, т. е. как полосу изучаемой нелинейной системы (15.2.1), определенную в гауссовом приближении. Согласно (15.2.16), эта полоса существеннейшим образом зависит от интенсивности воздействующего на эту систему шума, что, конечно, является следствием нелинейности системы.

Как будет показано далее, определение полосы системы как сохраняет свой смысл и при учете высших негауссовых приближений. Разумеется, в этих случаях значение полосы системы из-за негауссовости будет другим.

5. В заключение настоящего параграфа заметим следующее. Как можно показать (ср., например, [22, 23, 67]), использование гауссова приближения эквивалентно применению так называемого метода статистической линеаризации [68, 69], находящего широкое применение при анализе статистических характеристик различных нелинейных динамических систем.