Главная > Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

15.2. Гауссово приближение

1. В этом параграфе мы проанализируем эволюцию кумулянтов и кумулянтных функций процесса , заданного уравнением

(15.2.1)

ограничившись гауссовым приближением, т. е. считая отличными от нуля только первые два кумулянта

и кумулянтную функцию .

Уравнения эволюции первых двух кумулянтов согласно (10.6.9), (10.6.10) имеют вид

где усреднение производится в предположении гауссовости . Используя формулу (4.7.8), получим более удобный вид уравнений эволюции среднего и дисперсии:

(15.2.2)

Здесь штрих соответствует дифференцированию по .

Отсутствие в (15.2.2) высших кинетических коэффициентов означает, что в гауссовом приближении марковский процесс считается также и непрерывным. Поэтому нам необходимо знать только первые два кинетических коэффициента. Это значит, что мы можем полагать гауссовым дельта-коррелированным процессом, характеризуемым одним коэффициентом интенсивности .

Если кинетические коэффициенты не зависят от времени: , а этим случаем мы и ограничимся далее, и с течением времени переходные процессы, связанные с произвольными начальными условиями, заканчиваются, то мы придем к стационарному процессу, обладающему установившимися значениями среднего и дисперсии:

Поскольку средние зависят только от и то удобно для дальнейшего ввести специальные обозначения:

С учетом этих обозначений получаем следующие кинетические уравнения для среднего и дисперсии негауссового марковского процесса в гауссовом приближении:

(15.2.3)

Установившиеся значения кумулянтов находятся из уравнений

(15.2.4)

2. Для исчерпывающего описания стационарного марковского процесса необходимо еще определить ковариационную функцию . Согласно (10.8.7) уравнение для ковариационной функции в гауссовом приближении имеет вид

(15.2.5)

Решая уравнение (15.2.5) при начальном условии , придем к следующему виду ковариационной функции :

Итак, мы получили исчерпывающую информацию о стационарном марковском процессе в гауссовом приближении. Его среднее значение и дисперсия определяются уравнениями (15.2.4); он имеет экспоненциальную ковариационную функцию; его время корреляции и энергетическая полоса спектра равны соответственно

(15.2.7)

в то время как спектральная плотность равна

(15.2.8)

Поскольку зависят от — интенсивности воздействующего совершенно случайного процесса, то от будут зависеть и время корреляции, и полоса марковского процесса.

Эти зависимости

(15.2.9)

специфичны именно для нелинейного инерционного преобразования . По существу вся нелинейность системы (15.2.1) сказывается в рассматриваемом приближении именно в зависимостях (15.2.9), поскольку вид ковариационной функции (15.2.6) характерен для линейной системы.

3. Последнее обстоятельство наводит на мысль о том, что выбор гауссова приближения для описания марковского процесса, заданного уравнением (15.2.1), эквивалентен замене рассматриваемой нелинейной системы некоторой линеаризованной системой, т. е. замене нелинейной функции некоторой ей эквивалентной [с точки зрения полученных результатов линейной функцией.

Не представляет особого труда найти эту эквивалентную линейную систему. Исходя из (15.2.5), легко сообразить, что такая система описывается уравнением

(15.2.10)

где — некоторый коэффициент, зависящий в общем случае от среднего и дисперсии, а — тот же самый гауссов дельта-коррелированный процесс с интенсивностью .

Вообще говоря, систему (15.2.10) следует полагать , ибо ее параметры и зависят от характеристик исследуемого случайного процесса . Вместе с этим, эту нелинейность можно считать в определенном смысле «инерционной» нелинейностью или, лучше сказать, «усредненной» нелинейностью, так как параметры , В зависят не от мгновенных, а от усредненных значений случайного процесса . В то же время, если бы процесс был эргодическим, мы, действительно, имели бы «чистый» случай инерционной нелинейности.

Таким образом, гауссову приближению соответствует замена нелинейной системы линейной системой с усредненной нелинейностью.

Эквивалентность систем (15.2.1) и (15.2.10) позволяет без труда определить коэффициент В . В самом деле, из (15.2.10) элементарно следует, что спектральная плотность флуктуационной части процесса равна

где в силу дельта-коррелированности шума его спектральная плотность . Сравнивая это выражение с (15.2.8) и учитывая второе уравнение (15.2.4), найдем, что

(15.2.11)

Заметим также, что на основании (15.2.7) и (15.2.11) для энергетической полосы спектра марковского процесса можно записать другое, более удобное выражение

(15.2.12)

4. Рассмотрим в качестве примера часто встречающееся в приложениях уравнение

(15.2.12)

где как мы уже знаем, достаточно в рассматриваемом приближении считать гауссовым дельта-коррелированным процессом с интенсивностью .

В этом случае и первые два кинетических коэффициента марковского процесса согласно равны — Соответственно

(15.2.14)

а процесс установления стационарных значений среднего и дисперсии марковского процесса описывается согласно (15.2.3) уравнениями

(15.2.15)

Установившиеся значения кумулянтов определяются выражениями

Отсюда находятся зависимости , позволяющие с помощью (15.2.7), (15.2.12) представить полосы спектра исследуемого случайного процесса в следующем виде:

(15.2.16)

Таким образом, полоса выходного процесса будет возрастать или уменьшаться с ростом интенсивности воздействующего шума в зависимости от того, как быстро растет с ростом дисперсия выхода.

Поскольку полоса входного спектра неограничена, то можно рассматривать теперь и как полосу системы, т. е. как полосу изучаемой нелинейной системы (15.2.1), определенную в гауссовом приближении. Согласно (15.2.16), эта полоса существеннейшим образом зависит от интенсивности воздействующего на эту систему шума, что, конечно, является следствием нелинейности системы.

Как будет показано далее, определение полосы системы как сохраняет свой смысл и при учете высших негауссовых приближений. Разумеется, в этих случаях значение полосы системы из-за негауссовости будет другим.

5. В заключение настоящего параграфа заметим следующее. Как можно показать (ср., например, [22, 23, 67]), использование гауссова приближения эквивалентно применению так называемого метода статистической линеаризации [68, 69], находящего широкое применение при анализе статистических характеристик различных нелинейных динамических систем.

1
Оглавление
email@scask.ru