5.2. Особенности модельных распределений

1. Поставим вопрос: действительно ли функция

(5.2.1)

является характеристической функцией некоторого вероятностного распределения?

Если бы было бесконечно большим, то вопрос был бы излишним. Если бы мы рассматривали только случаи и , то вопрос имел бы тривиальный ответ. Однако мы рассматриваем конечные значения .

Следующая теорема Марцинкевича [50] исчерпывающим образом отвечает на поставленный вопрос: никакая функция вида

при не может быть характеристической функцией (агкомплексные числа).

Это значит, что никакой подбор значений кумулянтов не сделает (5.2.1) характеристической функцией некоторого вероятностного распределения. В свою очередь, это ведет к тому, что (5.1.1) не может быть плотностью вероятности. Таким образом, негауссовы модельные распределения не являются вероятностными распределениями. Выясним, в чем тут дело.

2. Будем исходить из того, что функция (5.2.1), где - величины, обладающие свойствами кумулянтов некоторого вероятностного распределения, не является характеристической функцией. Это значит, что не удовлетворяет хотя бы одному из пяти свойств (1.1.6). Так как, однако, при конечных представляет собой непрерывную функцию, такую, что , то остается рассмотреть следующие три свойства:

(5.2.2)

Легко видеть, что второму свойству (5.2.2) функция (5.2.1) удовлетворяет автоматически.

Первому свойству также можно удовлетворить, если соответствующим образом подобрать величины и знаки . Так, например, если мы рассматриваем симметричное эксцессное распределение, для которого

,

то, очевидно, кумулянт должен быть отрицательным. Разумеется, при подборе значений кумулянтов необходимо следить за тем, чтобы они не выходили за рамки, установленные для них основными неравенствами (см. §2.6). Так, отрицательное значение не должно превышать — . Тем не менее подобный подбор кумулянтов возможен.

Остается третье свойство, которое требует, чтобы сопряженная Фурье от характеристической функции, т. е. плотность вероятности соответствующего распределения, была неотрицательной функцией для всех значений .

Вот этому-то свойству и не удовлетворяет для любых конечных .

Следовательно, не существует таких вероятностных распределений, кумулянты которых обращаются в нуль для всех . Не существует в том смысле, что если их формально построить согласно (5.1.1), то функция для каких-то значений будет принимать отрицательные значения. И именно поэтому нельзя считать плотностью вероятности. Заметим при этом, что если не считать условия нормировки, то все ограничения, которые налагаются на плотность вероятности, как раз и сводятся к тому, чтобы она была неотрицательной функцией .

3. Итак, модельные распределения не являются вероятностными распределениями, и это происходит по той причине, что функция на некоторых я-множествах (обозначим их через ) принимает отрицательные значения.

Несмотря на это, модельные распределения весьма удобны для приближенного описания вероятностных распределений. В этом плане следует рассматривать как сравнительно простые функции, которыми можно аппроксимировать негауссовы вероятностные распределения. Модельные распределения удобны потому, что они обладают рядом полезных свойств. Так, например, из результатов § 4.2 следует, что все модельные распределения инвариантны к линейным преобразованиям случайных переменных. Следовательно, отмеченная выше «замечательность» гауссова распределения по отношению к линейным преобразованиям не является исключением. Ее скорее следует отнести к свойству линейности системы, чем к распределениям, хотя среди всех вероятностных распределений указанной инвариантностью, действительно, обладает только гауссово.

Из инвариантности модельного распределения к линейным преобразованиям переменных следует также и его устойчивость. Другими словами, сумма одинаково модельно распределенных величин сама имеет то же самое модельное распределение. Это связано с тем, что линейное преобразование не может образовать новых статистических связей. Так, если на входе линейного преобразования существовали статистические связи только первых s порядков, то и на выходе отличными от нуля могут быть статистические связи только тех же первых s порядков.

Работа с модельными распределениями технически более проста и при анализе нелинейных преобразований случайных переменных. Как следует из § 4.5, получение статистических характеристик выходов нелинейных преобразований представляется тем более простой операцией, чем меньше кумулянтов входит в набор, описывающий входные переменные.

К модельным распределениям удобно обращаться и в том случае, когда роль высших кумулянтов распределения незначительна, когда случайные переменные представляются достаточно полно уже низшими кумулянтами, а учет высших кумулянтов практически мало сказывается на результате. Еще более целесообразно заменять модельными те вероятностные распределения, высшие кумулянты которых вообще не оказывают никакого влияния на исследуемые статистические характеристики.

Так, например, при анализе дисперсии выхода квадратичного преобразования случайной величины при любой плотности вероятности достаточно аппроксимировать ее эксцессным распределением, ибо согласно (4.5.7) дисперсия на выходе зависит лишь от первых четырех кумулянтов входа.

4. Разумеется, использовать модельные распределения для приближенного описания тех или иных вероятностных распределений необходимо с достаточной осторожностью. Очевидно, например, что отыскание вероятности пребывания х внутри множества приведет к отрицательной величине. К неправильным результатам может привести также вычисление среднего от некоторой положительной функции, принимающей внутри области достаточно большие значения. Однако, по-видимому, в подавляющем большинстве случаев, особенно, когда находятся интегральные характеристики вероятностных распределений, работа с модельными распределениями вряд ли приведет к большим неприятностям.

5. Найденные в § 2.6 неравенства, ограничивающие возможные значения кумулянтов, позволяют другим путем убедиться в том, что модельные распределения любого конечного порядка, большего двух, не являются вероятностными распределениями.

В самом деле, возьмем, например, модельное распределение третьего порядка с набором кумулянтов и поставим вопрос: какие допустимые значения может иметь третий кумулянт или коэффициент асимметрии ? Из (2.6.2) следует, что при должен удовлетворять неравенству . Если же теперь взять неравенство (2.6.7), которое принимает во внимание не только значения , но и значения , , то при для мы получим . Это неравенство оставляет возможным значения существенно меньший интервал. Чем больше последующих кумулянтов учитывается, тем меньший интервал получается для . В конце концов, при учете всех высших кумулянтов и при равенстве их всех нулю, мы придем к . Это значит, что никакое вероятностное распределение не может иметь отличными от нуля только первые три кумулянта.

Такая же ситуация наблюдается и для четвертого кумулянта. Полагая , из (2.6.2) получим — . Полагая в (2.6.4) придем к , т. е. к гораздо меньшему интервалу возможных значений коэффициента эксцесса. Продолжая этот процесс бесконечно, получим . Следовательно, и симметричное эксцессное распределение не является вероятностным распределением.

Совершенно аналогично можно рассмотреть любое модельное распределение конечного порядка и убедиться, что интервалы возможных значений для кумулянтов при учете равенства нулю высших кумулянтов стремятся к нулю при .