126. Уравнение непрерывности.

Пусть v означает скорость теченид жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей через данную поверхность (S) (рис. 92). Пусть малый элемент поверхности. Частицы, занимавшие в момент t положение за промежуток времени передвинутся на отрезок , и таким образом за этот промежуток времени через протечет количество жидкости занимающее объем цилиндра с основанием и образующей . Высота этого цилиндра равна, очевидно, , где есть проекция v на нормаль к поверхности, а потому

где есть плотность жидкости. Величина получится отрицательной, если угол окажется тупым.

Рис. 92.

В случае замкнутой поверхности направление совпадает с направлением внешней нормали поверхности, и величина получится отрицательной, если жидкость втекает в объем, ограниченный этой поверхностью, через площадку . Общее количество жидкости, вытекающей через поверхность, отнесенное к единице времени, будет

при этом втекающая жидкость подсчитывается этой формулой со знаком минус.

Количество жидкости, занимающей объем (v), ограниченный (S), выражается интегралом

и за время dt это количество изменит свою величину на

а потому отнесенное к единице времени приращение количества жидкости будет

а количество вытекающей жидкости выразится тем же интегралом, но с обратным знаком, так что для Q получим два выражения

или, согласно формуле (37),

причем мы оставляем плотность под знаком расходимости, так как она может быть переменной, т. е. зависеть от положения точки. Последняя формула дает нам соотношение, справедливое для любого объема внутри жидкости:

В [74] мы показали, что если двойной интеграл по любой области от некоторой непрерывной функции равен нулю, то эта функция тождественно равна нулю. То же доказательство годится и для тройного интеграла. Отсюда следует

Это соотношение, связывающее плотность и вектор скорости любой жидкости, сжимаемой или нет, называется уравнением непрерывности. Соотношение (67) может быть записано иначе, если мы учтем изменение плотности жидкой частицы, причем есть плотность частицы, которая в момент t имела координаты . Плотность этой частицы зависит от t как непосредственно, так и через посредство , поскольку частица движется и ее координаты зависят от t. Полная производная от будет

что можно записать и так:

или

Мы можем переписать равенство (67), пользуясь в виде

т. е., в силу (63),

откуда

Таким образом расходимость поля скоростей v дает относительное изменение плотности элемента жидкости, находящегося в данном месте, — изменение, отнесенное к единице времени.

Если жидкость несжимаема, то это изменение должно равняться нулю, и мы получим из (69) условие несжимаемости

Мы вывели условие непрерывности путем подсчета количества жидкости, вытекающей из объема, подсчета, произведенного двумя способами. При этом предполагается, конечно, что в объеме нет источников жидкости — ни положительной, ни отрицательной силы (сток).

Если течение жидкости невихревое или, иначе говоря, потенциально, т. е. вектор v есть потенциальный вектор

то называется потенциалом скорости. Подставляя в уравнение (70), получим:

т. е. потенциал скорости для случая несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа (71).