11.9. ВОИНА НА ИЗНУРЕНИЕ И НАПАДЕНИЕ. ВТОРОЙ ВАРИАНТ

В § 5.4 мы исследовали военную игру, в которой управления были теми частями оружия, которые участники посвящали разрушению сил, производящих оружие противника. Оставшаяся часть оружия бросалась на непосредственный театр военных действий, и лишь она вносила полезный вклад в плату.

Решение показало, что если, скажем, действовал оптимально, то сначала он использовал (все оружие использовалось для изнурения), а затем в некоторый определенный момент времени переключался на (атака всеми силами). Никакого промежуточного распределения оружия не было. Такое распределение появляется теперь в варианте, несколько усложненном с целью большего приближения к реальности.

Новые уравнения движения будут иметь вид

и, как и прежде,

Как и в прежнем варианте, представляют собой отношения сил, посвященных отдаленным целям разрушения вражеских баз, к общим силам. Оставшиеся доли участвуют в бою и вносят прямой вклад в плату. Если или равны единице, то мы будем говорить об изнурении, если же они равны нулю, — об атаке. Новое здесь заключается в последних слагаемых первых двух из уравнений движения; это обсуждалось в § 11.6.

Как и раньше, определяется условиями

а есть

Снова не стоит, особенно на первых порах, чересчур беспокоиться о соблюдении ограничений Мы не будем

стремиться получить исчерпывающее решение, а постараемся показать его новые и важные аспекты.

Основное уравнение (4.2.3) имеет вид

где

Поэтому, очевидно,

Возвращаясь к начальным условиям, на имеем следовательно, Значит, как и ожидалось, т. е. на последней стадии войны все силы бросаются на атаку.

Вблизи уравнения характеристик имеют вид оказалось ненужным)

и их интегралы равны

Поэтому

Следовательно, поверхности переключения лежат на гиперболическом цилиндре, уравнения которого получаются приравниванием правых частей выражений (11.9.1) к нулю. Эти поверхности, обозначенные через и изображены на рис. 11.9.1. Поэтому наши выкладки справедливы по крайней мере для области, лежащей внутри фигуры, показанной на этом рисунке (это та часть пространства У, для которой

Не вся эта фигура оказывается существенной. Действительно, представим себе пространство спроектированным, например, на плоскость (т. е. с точки зрения рис. 11.9.1 вдоль оси

Траектории оказываются наклонными прямыми, как на рис. 11.9.2, а проекция поверхности представляет собой гиперболу. Последняя касается одной из траекторий в точке

Рис. 11.9.1.

Рис. 11.9.2.

Ясно, что роль поверхности переключения будет играть лишь та часть поверхности которая лежит выше точки так как ниже этой точки не пересечется ни с одной (регрессивной) прямолинейной траекторией, выходящей из

Несложные вычисления показывают, что точка имеет координаты

Следует ожидать (и можно на самом деле проверить), что пересечение поверхности ведет к переключению с нуля на единицу и, следовательно, справа от одно из уравнений характеристик записывается в виде

Везде, за исключением границы последнее слагаемое, положительно и, следовательно, траектории, расположенные справа от будут иметь по сравнению с прямолинейными более крутой наклон. Таким образом, справа от точки образуется незаполненное пространство, и это побуждает нас искать -универсальную поверхность.

Как и на прямолинейных траекториях, величина на универсальной поверхности должна равняться нулю. Это является предпосылкой для ее поиска. (Более того, наш критерий для -универсальной поверхности показывает, что она не может существовать при Анализ был сделан в примере 7.9.3; очень подходящим кандидатом оказалась поверхность, определяемая уравнением (7.9.23):

Это плоскость, проходящая через точку разумеется, мы используем лишь часть ее, лежащую правее где

Чтобы осуществить движение по этой плоскости, положим тогда из второго уравнения движения находим

или

Поскольку наши ограничения требуют, чтобы универсальная поверхность ограничена условием

Наши соображения упростятся, если мы временно превратим рассматриваемую задачу в игру с одним игроком, считая, что тождественно. В частности, мы освободимся от Теперь мы имеем дело с таким положением, когда все свои силы тратит только на атаку и не пытается расстроить ресурсы игрока Р.

Универсальной поверхностью оказывается четверть плоскости показанная на рис. 11.9.3. Входящие в нее траектории, как это мы уже видели в общем случае, гладко соединяются с семейством выходящим из и с семейством идущим непосредственно от Траектории на самой поверхности изображены на рисунке.

Рис. 11.9.3.

Проинтерпретируем положение дел с точки зрения полученных нами знаний. Если до окончания еще далеко ( велико), а силы не слишком малы (выполнено (11.9.4)), то ему следует атаковать если сил у противника меньше, чем и продолжать атаку до тех пор, пока этот уровень не будет достигнут. Но если сил противника больше, чем то стратегией будет изнурение противника до тех пор, пока силы не будут доведены до этого уровня. При игрок держит их на этом уровне, используя одновременно и изнурение, и атаки в пропорции (11.9.3). Он придерживается такой политики до момента времени считая от окончания, и затем полностью переключается на атаку.

Но имея дело с большими силами противника при малом количестве оставшегося временя, будет использовать политику

изнурения лишь до встречи траектории с затем, когда времени до окончания останется он переключится на атаку.

Эти идеи снова проиллюстрированы на диаграмме, приведенной на рис. 11.9.4.

Рис. 11.9.4.

Что же происходит поблизости от пустого места на рис. 11.9.3? Мы покажем, что здесь расположена рассеивающая поверхность.

Перепишем уравнения движения, положив :

Найдем начальные условия на универсальной поверхности вблизи В начальной точке на самой как показывает (2), при должно быть

Следовательно, траектории, покидая и спускаясь вниз, ведут себя, как параболы. Из начальных точек, близких к траектории, по-прежнему имеющие вид парабол, сначала поднимаются есть малое положительное число), а затем опускаются. (Одна из них изображена на рис. 11.9.3.) Таким образом, они пересекаются с прямолинейными траекториями, отходящими от нижней стороны

универсальной поверхности. От вблизи траектории спускаются еще быстрее, поскольку х, там еще меньше. Итак, рассеивающая поверхность может быть построена (§ 6.5) приравниванием значений V на двух множествах пересекающихся траекторий.

Восстановим теперь игру двух игроков. Во-первых, попытаемся узнать что-нибудь о значении V на универсальной поверхности. Запишем последнюю в виде

Тогда довольно просто показать, что на ней

и

В игре двух игроков рассматриваемая поверхность имеет смысл лишь при поскольку при ее построении предполагалось, что Это означает, что мы должны отбросить всю ее, за исключением части, лежащей за поверхностью с уравнением Граница обозначена пунктиром на рис. 11.9.3.

У нас нет уверенности, что часть поверхности лежащая за пунктирной кривой, будет играть свою прежнюю роль. Нам нужно вычислить значение вдоль притоков для оставшейся части универсальной поверхности и найти множество точек, где оно обращается в нуль. Сделать это для траекторий, лежащих ниже поверхности, нетрудно; мы найдем старую поверхность Но траектории сверху приводят к дифференциальным уравнениям, не поддающимся элементарным методам, поэтому мы не сумели завершить исследование. Наше предположение заключается в том, что обращается в нуль, но не на поверхности