Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.5. ИГРЫ ПРЕСЛЕДОВАНИЯМного примеров игр преследования можно привести из области военного дела: торпеда и корабль, корабль и подводная лодка, ракета и бомбардировщик, танк и «джип». Чтобы получить общую картину, будем обозначать преследователя через Игра преследования обычно считается оконченной, когда произошел захват. Это означает, что расстояние Для пояснения наших идей остановимся на некоторых типичных моментах. За Во-вторых, нужно определить, что означает «наилучшим образом». По терминологии теории игр необходимо выбрать плату. Критерий наиболее очевиден, если захват всегда осуществляется. В том случае, когда интерес представляют только два исхода игры (или другое конечное число), будем говорить о проблеме как о некоторой игре качества (в отличие от игр степени, которые имеют континуум возможных исходов). Но Все вышеописанные случаи соответствуют дискретной, точнее, двузначной плате, и мы будем классифицировать соответствующие им игры как игры качества. Но бывают случаи, когда противники стремятся минимизировать или максимизировать определенную переменную величину. Эта величина есть плата, и игра является игрой степени. Часто в качестве платы удается выбрать такую непрерывную величину, что она автоматически содержит в себе определенный выше дискретный критерий. Например, предположим, что нас интересует только один вопрос: может ли быть осуществлен захват? В качестве платы можно взять время захвата, причем цель сделает это в кратчайшее время. Теперь предположим, что вначале целью Эта мысль является достаточно общей. Если, скажем, первоначально было желательно узнать, сможет или нет Итак, ответом на вопрос, что означает в играх «наилучшим образом», является установление численного значения платы. Для игр качества это можно сделать несколько искусственно, приписав два (или более) числовых значения величине платы для двух (или более) исходов. «Наилучшим образом» для Предположим, что плата выбрана; как Краткое размышление показывает, что такие вопросы бессмысленны. Ответ зависит от того, как будет вести себя Из этого следует, что нельзя говорить об оптимальном преследовании, не определив, что такое оптимальное уклонение. Необходимо одновременно рассматривать всевозможные способы поведения обоих противников, для того чтобы разработать методы анализа игровых ситуаций. Именно это и делается в настоящей книге. Оптимальное уклонение можно классифицировать так же, как оптимальное преследование. Все замечания, сделанные выше относительно
Рис. 1.5.1. В военных задачах, разумеется, обе стороны рассматривают оба класса этих вопросов. Выше обсуждались задачи игры и понятие платы только с точки зрения преследователя Вниманию читателя предлагается следующая простая игра преследования, решение которой изложено далее в этой главе. Ответ можно установить с помощью элементарных геометрических рассуждений, но для большинства случаев, которые будут рассматриваться в дальнейшем, этот способ не типичен. Требуемые рассуждения просты, однако задача предполагает наличие у читателя некоторой изобретательности, и лишь немногие дают правильный ответ. На рис. 1.5.1 С есть область расположения объекта, который
Вообразим, что Приведем второй пример, уже далеко не простой. Он представляет собой игру преследования, где один из противников вынужден двигаться так, чтобы кривизна его траектории не превышала некоторой величины. Это кинематическое ограничение типично. Позже мы обратимся к случаю, когда подобным образом ограничены оба противника, однако рассмотрение такого случая не дает в принципе ничего нового и тем самым не может компенсировать возросшую трудность задачи. Несмотря на то что задача, которую мы сейчас приведем, типична для определенного класса игр преследования, ее мрачное название (смотрите следующий пример), возможно, поможет ярче представить себе сущность подобных ситуаций. Представим себе автомобиль на бесконечной пустой площади, который пытается наехать на пешехода. Таким образом, рассматривается игра преследования, где Эта простая игра включает в себя столь богатый ассортимент явлений, типичных для теории игр, что часто она служила автору чем-то вроде указательного столба при построении теории. Поскольку и читателю она может сослужить ту же службу, мы приведем эту игру сейчас. Еще раз повторяем, что в следующих главах книги она будет служить не только примером, но и своеобразным пробным камнем нашей теории. Игра достаточно проста для того, чтобы быть наглядной, однако ее решение состоит из различных этапов, подчас далеко не очевидных. Появляется семейство сингулярных поверхностей, многие оказываются очень типичными. Все же возможно интерпретировать многие аспекты геометрически, не прибегая к теоретическим исследованиям; сравнение результатов позволит пояснить и проверить наши рассуждения. Геометрический вариант, а также и завершение решения приведены в гл. 10. Пример 1.5.1. Игра «шофер-убийца». Игра происходит на плоскости. Преследователь
Убегающий Захват происходит, когда расстояние Нас интересуют два вопроса. 1. Игра качества. Когда Задача состоит в том, чтобы определить точные условия: значения 2. Игра степени с временем захвата в качестве платы. Теперь предположим, что Если вначале по этой дуге, делая максимально крутой поворот вправо — до точки Рис. 1.5.2. (см. скан) Пусть теперь Для осуществления захвата по дуге окружности, чтобы начать прямое преследование. Со своей стороны Такой тип преследования будет называться маневром разворота. Он составляет наиболее интересный с точки зрения математики аспект игры степени. Но каково точное решение и как его найти? Каковы точные оптимальные траектории
|
1 |
Оглавление
|