5.2. ДОЛИХОБРАХИСТОХРОНА

В классической задаче о брахистохроне некоторое тело в однородном поле тяжести принуждено скатываться вниз по заданной кривой. При этом начальная точка фиксирована. Фиксировано и конечное положение, которое может быть либо также некоторой точкой, либо — в более общем случае — некоторым участком заданной кривой. Последнее больше соответствует нашему подходу к проблеме. Мы будем считать, что тело к концу своего падения должно быть в какой-то точке определенной кривой В какой именно точке, мы не знаем, но устанавливаем это в процессе решения.

Задача состоит в том, чтобы найти траекторию, которая позволяет за минимальное время достичь исходя из заданной начальной точки.

Если тело падает вниз из некоторой точки с нулевой начальной скоростью на расстояние у по вертикали, то независимо от пути скорость его, как известно, равна Поскольку ясно, что искомая кривая — брахистохрона — не зависит от гравитационной постоянной мы можем принять скорость равной

Теперь представим себе точку, которая передвигается в верхней полуплоскости х, у таким образом, что в каждый момент времени мы можем выбирать направление ее движения, а модуль скорости ее при этом равен всегда У Ясно, что если точка движется так, что минимизирует время полета, то ситуация равносильна вышеописанной; оптимальная траектория будет брахистохроной.

Уравнения движения точки имеют вид

поскольку модуль скорости в точке равен а направление ее всегда в нашем распоряжении (лучше сказать — в распоряжении В каждой точке обладает круговой вектограммой. Далее, интегральная плата с функцией приводит к минимизации времени перехода. При выборе координатных осей принято связывать направление вверх с положительным направлением оси поэтому мысленно обратим направление гравитации, и пусть читателя не приводит в замешательство «падение» тела вверх.

В качестве терминальной кривой выберем положительную часть оси в качестве пространства игры первый квадрант плоскости Начальной может быть любая точка из если предписать ей начальную скорость, равную

Тогда единственным множеством начальных точек, согласующихся с первоначальной постановкой задачи, является положительная часть оси х. Если требуется рассмотреть случай стационарного старта, то этого всегда можно добиться подходящим выбором осей; но чаще мы будем просто видоизменять начальные условия.

В задаче о долихобрахистохроне второй игрок стремится максимизировать время падения, добавляя новый векгор к вектограмме Пусть вектограмма изображена на рис. 5.2.1, а.

Рис. 5.2.1.

Два крайних вектора ее имеют одинаковую длину Один из них позволяет задерживать продвижение точки х к перемещая ее вертикально вниз и тем самым принуждая ее перейти в область малых значений у и, следовательно, низких скоростей для другой крайний вектор горизонтален и направлен вправо от (на рис. изображен типичный момент игры). Остальные векторы представляют собой выпуклые линейные комбинации этих двух крайних векторов, т. е. мы имеем типичную линейную вектограмму. Задача состоит в выборе самой выгодной для него при данных обстоятельствах комбинации его крайних векторов.

Конечно, здесь можно усмотреть также и некоторую игру качества. В области скорость намного больше

скорости так что последний не может здесь добиться окончания игры. В самом деле, нетрудно видеть, что в этой области, попеременно применяя крайние векторы своей вектограммы, может передвинуть х как угодно далеко от Однако мы не будем без особой необходимости рассматривать эту игру качества.

Если в последующих выкладках считать, что всюду мы получим один из вариантов классической задачи о брахистохроне.

Уравнения движения имеют вид

Эти уравнения без последних членов уже были выписаны раньше в этом параграфе. Последние члены принимают значения

так что крайним допустимым значениям соответствуют крайние скорости -вектограммы. Ясно, что промежуточным значениям соответствуют векторы, заполняющие всю -вектограмму.

Поскольку платой является время окончания игры, она определяется интегралом, где Основное уравнение (4 2.1) имеет тогда вид

С помощью леммы 2.8.1 определяем функцию доставляющую минимум выражению в квадратных скобках; тогда

где

и первая круглая скобка в основном уравнении равна Коэффициент при в этом уравнении равен

и максимум достигается при

Тогда основное уравнение (4.2.3) будет

или

При уравнения характеристик в регрессивной форме имеют вид

При слагаемое в уравнении для исчезает,

а в уравнении для у появляется слагаемое Это легко проверить, взглянув на уравнения движения. Кривая описывается уравнениями

и на ней

Найдем теперь допустимую область. Для этого заметим, что скорость, направленная по нормали к горизонтальна и равна величине X при Для того чтобы точка х смогла пересечь вопреки любым противодействиям минимакс этой скорости должен быть отрицательным, т. е.

Это значит, что допустимой областью является та часть прямой для которой

Для того чтобы можно было интегрировать уравнения характеристик, мы должны знать в допустимой области. В этой области

Очевидно, что на Так как на то в близких правых точках, поскольку V — это время, необходимое для

того, чтобы достичь Тогда и поэтому на и вблизи нее можно принять Тогда на основное уравнение (4.2.3) имеет вид

(мы положили т. е. на

так что положительна в допустимой области. Итак, на известны, и мы используем их в качестве начальных условий для интегрирования уравнений характеристик в регрессивной форме.

Интегрирование правого верхнего из этих уравнений сразу дает (5.2.3), причем это соотношение выполняется теперь уже не только на но и в некоторой области в У. Чтобы проинтегрировать остальные уравнения, проще всего использовать сначала основное уравнение (4.2.3). Положив получим

Возводя в квадрат и разрешая относительно получаем

Какой выбрать знак На это сразу же можно ответить, если исходить из того, что для больших значений у скорость больше, чем для малых, и потому время достижения равное V, меньше; следовательно, Более формальное обоснование мы предоставляем выполнить читателю в качестве упражнения.

Упражнение 5.2.1. Показать, что правому нижнему уравнению из уравнений характеристик в регрессивной форме удовлетворяет лишь

Заметим, что

и левое нижнее уравнение из уравнений характеристик превращается в уравнение

Для начального условия это уравнение, как легко видеть, имеет решение

если только

Верхнее левое уравнение из уравнений характеристик интегрируется обычным способом; в результате получаем

Оптимальные траектории определяются уравнениями (5.2.6) и (5.2.4). Заметим, что при это уравнения циклоиды, пересекающейся с под прямым углом. Порождающая ее окружность катится по оси абсцисс, имеет радиус, равный и за время поворачивается на угол Неравенство (5.2.5), необходимое для установления нужного знака у у в уравнениях характеристик, означает, что дуга циклоиды соответствует вращению, не превышающему половины оборота не может достичь, а затем покинуть ось

Вернемся, однако, к игре двух игроков; мы получили из чего следует, что т. е. применяет свою крайнюю горизонтальную скорость. Посмотрим, как долго он будет придерживаться этого правила. Имеем

и А остается положительным все время, пока При можно ожидать наличие поверхности переключения, где меняет свою стратегию с на Из (5.2.4) следует, что на поверхности переключения а из (5.2.5), что

Тогда из (5.2.6) получаем, что на этой поверхности при

Заметим, что в области, расположенной слева от поверхности переключения (см. рис. 5.2.2),

Поверхность переключения определяется уравнениями (5.2.8) и на ней Она представляет собой параболу с наклонной осью, изображенную на рис 5 2.2, и полностью определяет оптимальную стратегию для

Рис. 5.2.2

В каждой из областей, разделенных поверхностью переключения, должен применять все время один из своих крайних векторов, как это показано на рисунке.

Мы уже нашли выражение для оптимальной стратегии через Слева от поверхности переключения

Однако выражение через х, у довольно громоздко. Чтобы найти его, нужно разрешить уравнения (5.2.4) и (5.2.6) относительно и подставить полученное значение в формулу

Оптимальные траектории слева от поверхности переключения, как видно из их уравнений, представляют собой нечто вроде циклоид, а именно: каждая описывается точкой окружности, которая катится вправо по прямой, скользящей влево со скоростью

Чтобы продолжить решение на правую сторону поверхности переключения, требуется дальнейшее интегрирование, которое, будучи в принципе элементарным, при выполнении оказывается

довольно утомительным. В качестве начальных условий возьмем

Мы должны использовать эти условия при интегрировании уравнений характеристик, считая Основное уравнение (4.2.3) имеет вид

Чтобы установить, что все эти вычисления действительно завершают решение, необходимо проверить следующие утверждения:

1) новые траектории полностью и однозначно покрывают область в У, расположенную справа от поверхности переключения и выше прямой

2) всюду в этой области (кроме самой поверхности переключения, где

Первое утверждение кажется в высшей степени вероятным (доказательство, не использующее прямое интегрирование, возможно, будет не столь уж трудным). А второе следует из первого, ибо вдоль оптимальной траектории