А.2. ИГРА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ С НЕПОДВИЖНОЙ БАТАРЕЕЙ

Оба игрока осуществляют простое движение на плоскости. Преследователь быстрее и легко мог бы поймать если бы не заградительный огонь, защищающий Огонь непрерывен и ведется из батареи, расположенной в точке О. Мгновенная вероятность поражения обратно пропорциональна расстоянию и интеграл от нее, как и в будет платой.

Итак, пытается поймать с минимальной вероятностью поражения. Он должен выбрать курс, являющийся компромиссным между прямым преследованием и осторожностью, требующей того, чтобы не быть слишком долго поблизости от О. Со своей стороны должен включить в свой полет от маневрирование, имеющее целью завлечь в опасную близость к О.

Мы используем полярные координаты для и прямоугольные координаты х, у для начала систем координат находятся в О, прямые совпадают. Скорости игроков равны соответственно причем так что в действительности означает отношение скоростей. Управления показаны на рис. Уравнения движения имеют вид

Плата есть интеграл, причем

где а — фиксированная положительная константа. Терминальная поверхность определяется условием где I — заданное положительное число, а пространство игры определяется условием

Решение почти целиком получается с помощью непосредственного интегрирования. Этот пример является исключительным в смысле отсутствия здесь особенностей.

Рис. А.2.1.

Все же одна сингулярная поверхность здесь определенно есть: если Р, О, Е лежат на одной прямой в перечисленном порядке, то два симметричных пути, с помощью которых может обойти О, очевидно, приводят к наличию рассеивающей поверхности с мгновенной смешанной стратегией на ней.

Наш обычный метод не приводит к затруднениям (за исключением, возможно, обычной трудности выбора знака в начальный момент). Из уравнений характеристик тотчас же последует, что всегда движется по прямой линии. В то же время любой путь определяется уравнением

где — постоянные; К может иметь произвольный знак, но при этом подразумевается, что в тех случаях, когда он отрицателен, следует заменить на

На рис. А.2.2 изображен график шкалой) для типичной партии. Здесь точки отмечают положения в последовательные моменты времени. Разумеется, любая соответствующая пара зтих точек может быть принята за начальное положение.

Упражнение Написать для этой задачи уравнения движения, используя три фазовые координаты вместо четырех.

Рис. А.2.2. (см. скан)

Упражнение Решить вариант предыдущей задачи, отличающийся от нее тем, что батарея теперь равномерно распределена вдоль некоторой прямой». Это означает, что где расстояние игрока от прямой».

Проблема Предположим, что в предыдущей задаче в качестве используется функция, убывающая с ростом расстояния быстрее, чем Может показаться, что если это убывание достаточно быстрое и имеется достаточно времени, то наилучшей стратегией для него будет подойти близко к точке О и остаться там. Случается ли это когда-нибудь на самом деле? Если то как решать такую задачу?