А.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ

Проектирование траекторий ракет дальнего радиуса действия, максимизирующее их эффективность, — это задача, для решения которой применимы настоящие методы. Здесь мы имеем дело с игрой одного игрока и в качестве платы, т. е. величины, которую надо оптимизировать, принимаем расход горючего.

Рассмотрим сначала сам прототип. Координатами в пространстве игры (фазовыми координатами) будут следующие величины:

позиционные координаты ракеты,

компоненты скорости,

угол рыскания и другие подобные величины,

текущий вес ракеты (убывающий при расходовании горючего).

Управлениями будут, разумеется, те величины, которые регулируются системой наведения.

Пусть мы имеем дело с межконтинентальной баллистической ракетой, спроектированной для того, чтобы из одной точки земной поверхности прибыть в другую точку, отдаленную от первой. Существует два (или больше) участка активного полета, возможно, с отбрасыванием использованных ступеней в конце каждого из них, а в конце следует участок пассивного полета.

Используя наш подход, мы будем, как обычно, изучать задачу в обратном порядке. Начиная с заданного пункта назначения, найдем множество точек в пространстве фазовых координат, обладающих тем свойством, что свободное падение из любой такой точки приведет ракету в цель. Это множество определяет в поверхность Используя в качестве совокупности начальных условий, построим обычным методом регрессивные оптимальные траектории; результат дает решение для последнего участка активного полета. Это решение продолжается назад до тех пор, пока не выполнятся условия перехода в предшествующую стадию. Полученные состояния образуют новую поверхность и цена будет известной функцией на ней. Мы продолжаем этот процесс до тех пор, пока не доходим до участка полета, включающего в себя запуск.

Не в пример многим другим задачам, которые мы изучали, эта задача пользовалась большим вниманием на протяжении последних лет. Многие исследователи получили здесь первоклассные результаты, даже не зная ничего о дифференциальных играх. Можно ли утверждать, что только что описанный подход имеет какие-либо преимущества?

С точки зрения чистой логики метода — нет.

Всегда начинают с того, что создают модель которая более или менее упрощенно описывает реальность. Благодаря модели, и только ей, может быть использована математика. Вообще говоря, и почти наверняка в данном случае, изучаемая задача ставится так, чтобы имелся единственный ответ. Тогда любые приемы, с помощью которых можно получить этот единственный ответ, одинаково хороши. В самом деле, должен существовать способ, устанавливающий их логическую эквивалентность.

Но дифференциальные игры имеют преимущество перед другими методами, по крайней мере некоторыми, по отношению к следующим двум вопросам: насколько процедура решения освещает аспекты поведения в любом положении, отличном от самой траектории? Применим ли используемый математический метод к более реалистическим и более трудоемким моделям?

Во-первых, благодаря определенным выше поверхностям мы включаем оптимальную траекторию в семейство траекторий, по каждой из которых ракета движется оптимально к оптимальной точке перехода в стадию пассивного полета. (Разумеется, то же самое можно достичь с помощью вариационного исчисления, если варьировать условия на конце траектории. Тем самым наше утверждение гораздо слабее: такое рассмотрение гораздо естественнее с точки зрения дифференциальных игр.)

Вторым преимуществом нашего подхода является то, что ракета не ограничена единственной навигационной программой. Если некоторое неблагоприятное событие собьет ее с курса, то она не должна вновь возвращаться на старую траекторию, а движется оптимально по пути, соответствующему новым значениям координат. С математической точки зрения такая ситуация становится возможной благодаря тому, что наш метод ведет к вычислению V, а следовательно, и управлений (которые выражаются через частные производные от V) во всех точках пространства Это означает, что в любой ситуации (фазовые координаты), которая может встретиться на протяжении полета, мы знаем (именно для этой ситуации) наилучший способ управления.

Пример А. 3.1. Упрощенная задача о полете ракеты. Упрощения довольно решительные, но в принципе ничто не приносится в жертву. Наша модель является не реалистической, а иллюстративной. Сделаем следующие предположения:

Имеется единственная стадия активного полета, за которой следует свободное падение.

Земля плоская, силы гравитации равномерны и вертикальны. Нет трения о воздух.

Тяга ракеты постоянна по величине; управление достигается изменением ее направления. Физическое пространство двумерно; ракета всегда остается в вертикальной плоскости, содержащей точки запуска и цели. Потери веса ракеты вследствие использования горючего не учитываются.

Итак, в плоскости х, у наша ракета должна быть запущена из начала координат О с нулевой скоростью. Цель, расположенная точке (см. рис. А.3.1), имеет координаты

Рис. А.3.1.

С включенным двигателем "ракета следует до точки К (сплошная кривая), откуда начинается свободное падение.

Плата, которая должна быть минимизирована, есть использованная энергия. В силу наших предположений о постоянстве тяги и веса ракеты это эквивалентно минимизации длительности активного участка полета.

Фазовыми координатами являются х, у — положение ракеты и ее вектор скорости. Сила тяги, приходящаяся на единицу массы, представлена на рис. вектором длины Угол наклона этого вектора является единственным управлением.

Движение ракеты описывается обычными ньютоновскими уравнениями ускорение силы тяжести)

Мы построим множество предыдущем обсуждении), состоящее из всех таких точек пространства У, откуда может начаться свободное падение; одной из этих точек является изображенная на рисунке точка К.

Использование элементарной динамики дает

Читатель без труда проверит, что если тело начинает движение из указанного выше начального положения с начальной скоростью то в момент времени оно приземлится в точке

Составив основное уравнение и уравнения характеристик и интегрируя последние при выписанных выше начальных условиях, получим траекторию

где

Далее, и для оптимальной стратегии

Следовательно, направление силы в активном полете остается постоянным; к этому мы еще вернемся позднее. Траектория ракеты будет параболой с осью, параллельной направлению суммы векторов тяги и силы тяжести.

Затем решим систему относительно Исключение их приводит к уравнению четвертой степени, и все искомые величины будут выражаться через один из его корней, подходящим образом выбранный.

Но если речь идет о конкретной траектории с начальными условиями

ее легко найти. Нетрудно получить линейную аппроксимацию для V в окрестности этой траектории поскольку частные производные от V будут фигурировать в полном интеграле уравнений характеристик.

Рис. А.3.2.

Проведя необходимые вычисления, получим

где Таким образом, угол наклона тяги является функцией от Легко начертить эту зависимость, обращая график зависимости от Это сделано на рис. А.3.2.

Величину можно рассматривать как величину силы, если вес ракеты принять за единицу. Она должна быть больше 1 для того, чтобы ракета смогла подняться с земли. Если она очень велика, то график показывает, что угол очень близок к 45° — вполне естественное заключение, поскольку это хорошо

известный угол для баллистической стрельбы на максимальное расстояние (в вакууме), а очень большая сила должна действовать очень короткое время. По мере того как убывает до 1, угол наклона тяги возрастает, давая в пределе вертикальный старт.

На том же рисунке мы начертили Эта величина является хорошим критерием для всей оптимальной траектории, так как представляет собой отношение времени работы двигателя к полному времени полета. При большой тяге продолжительность активного участка мала; почти весь путь составляет свободное падение. Оба времени полета одинаковы при отношении равном примерно 1,6, а для еще меньших отношений сил время активного полета доминирует.

Мы видим, что задача движения с минимизацией времени приводит к использованию тяги постоянного направления. Но это случается не всегда, даже при нашем простом гравитационном поле сил, отсутствии сил сопротивления и т. д. Интегрируя уравнения характеристик, получаем

где — константы.

Если цель ракеты состоит лишь в достижении за минимальное время заданного положения, то будет постоянным, однако произвольные терминальные поверхности которые нам приходится рассматривать, зависят наряду с х, у также от , т. е. учитывают не только конечное положение, но и конечную скорость. Ясно, что объект, приближаясь к должен предвидеть конечное значение скорости в момент прибытия. Выражение (А.3.2) для оптимальной стратегии с этой точки зрения весьма правдоподобно. Действительно, если велико далеко от то угол будет почти постоянным, но когда х приближается к вектор силы меняет направление, чтобы удовлетворить граничным условиям.

Мы подчеркиваем этот факт, чтобы отметить, что простота полученного решения является, по-видимому, скорее исключением, чем правилом. Здесь имеет постоянное значение лишь благодаря тому, что скорость на терминальной поверхности принимает подходящие значения. Стоит, однако, изменить задачу — включить сопротивление воздуха, многоступенчатость и т. д. — и мы, вероятно, получим гораздо более сложное решение.

Задача A.3.1. Показать, что для ракеты, движущейся в постоянном поле сил и управляемой поворотом силы тяги, как в предыдущем примере, необходимое и достаточное условие того, что

значение на оптимальных траекториях минимального времени постоянно, состоит в том, что на терминальной поверхности

В частности, показать, что это же условие выполнено и для поверхностей, зависящих только от положения.

Проблема А.3.1. Каково будет управление, если вместо постоянного поля сил взять поле с потенциалом Особенно важно поле сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния.

Проблема А.3.2. Каков наиболее экономный способ запуска спутника на любую круговую орбиту вокруг Земли? Мы подразумеваем здесь академическую, но интересную модель. Сделать те же предположения о полете, что и раньше в этом параграфе, за исключением того, что силы гравитации радиальны и меняются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли О. В качестве следует использовать множество тех значений фазовых координат, при которых ракета находится на круговой орбите (центробежные силы уравнивают гравитационные).

Предположим, что Земля совершенно проницаема. При каких условиях радиус орбиты будет больше радиуса точки пуска (предполагается, что она расположена на поверхности Земли), так чтобы орбита оказалась осуществимой? Даже при осуществимости в этом смысле траектория вывода может проходить сквозь Землю. Такой случай должен означать, что спутник запускается с вершины горы.