ГЛАВА 3. Дискретные дифференциальные игры

3.1. ВВЕДЕНИЕ

Подобно многим проблемам математического анализа, дифференциальные игры допускают дискретные модели. Гладкие, непрерывные процессы заменяются последовательностями отдельных шагов или перемещений.

Одна из целей такой замены — иметь возможность применять методы приближенного вычисления. При современном уровне вычислительной техники такой способ получения решения кажется весьма соблазнительным, особенно когда принципиальное исследование затруднительно. Но общность при этом теряется; без подсчета огромного количества случаев уже нельзя усмотреть, как зависит решение от начальных условий и от различных параметров, описывающих игру. Кроме того, как будет показано на некоторых примерах, многие математические вопросы, например вопрос об особых поверхностях или даже о единственности решения, могут при этом оставаться неясными.

Мы не будем здесь подробно обсуждать эту точку зрения; в частности, не будем касаться вопроса сходимости, а именно доказательства того, что с уменьшением шага дискретное решение приближается к непрерывному.

Наша цель — дать грамотное общее представление о проблеме; тогда дискретные игры могут мотивировать и пояснять многие из наших идей. В следующих разделах будет показано, что даже классическая дискретная игра двух игроков с нулевой суммой и полной информацией порождает некоторые параллели в нашей теории.

Затем мы перейдем к примерам дифференциальных игр, которые легче всего поддаются квантизации. В § 3.3 будет рассмотрена боевая игра, где каждый игрок стремится уничтожить боевые силы противника. Аналогию этой игры молено найти, например, в бизнесе, когда каждая из двух коммерческих фирм старается разорить конкурента. Подобные игры можно рассматривать и как игры степени, где платой является количество уцелевших ресурсов победившей стороны, и как игры качества, цель которых — истребление. Овладев при чтении последующих глав основными идеями, читатель сможет легко получить непрерывные варианты таких игр.

Мы рассмотрим далее две игры преследования. Первая из них, «полицейский автомобиль», действительно лучше вкладывается в дискретную схему, чем в непрерывную. Вторая — пресловутая игра «шофер-убийца»: уже здесь обнаруживаются ее некоторые интересные моменты Ряд вопросов, связанных с этой игрой, не удается решить в настоящей главе — это типичные ограничения, присущие дискретному методу. В последнем параграфе намечена техника вычисления по шагам, требующая только частичной квантизации.

Умудренные опытом математики могут пропустить эти примеры без ущерба для дальнейшего чтения, ибо они не содержат материала, который понадобится в будущем; цель этих примеров — дать некоторый предварительный просмотр конкретных решений, возможный потому, что определенные трудности при дискретном подходе можно обойти. В то же время менее подготовленный читатель, даже если он не станет читать дальше, почувствует, прочитав эту главу, общую тенденцию нашего подхода к проблеме, поняв аналогию с развиваемыми здесь идеями и приведенными здесь примерами Однако общее обсуждение решений в § 3.2 является основой для философии теории игр.

В заключение отметим, что иногда бывает желательно обратить принятую в этой главе процедуру; например когда мы сталкиваемся с такой игрой, где перемещения дискретны, но некоторым образом логически согласованы, может оказаться выгодным заменить дискретную игру ее непрерывной моделью Так мы и сделали, не оговаривая это особо, в примерах 5.4 и 11.9.