7.13. СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА УПРАВЛЕНИЙ

Мы уже объясняли, почему до сих пор ограничивались лишь рассмотрением универсальных поверхностей, возникающих в случае единственного управления которое входит в уравнения движения линейно. Вернемся теперь к общему случаю произвольного числа управлений. Однако будем предполагать, что одно из них, обозначенное для максимизирующего игрока), все еще играет основную роль, и наша цель — отыскание -универсальной поверхности.

Здесь мы несколько отклонимся от своих обычных обозначений: это основное будем писать без индекса, а через будем обозначать остальные управления. Линейность уравнений движения относительно будет по-прежнему существенна; они имеют вид

Сделаем теперь предположение, которое по значимости представляет собой нечто среднее между предположением о

минимаксе (§ 2.4) и требованием разделимости уравнений движения относительно всех управлений:

Другими словами, а, могут быть функциями лишь от в то время как в (5, могут входить

Тогда общим условием для -универсальной поверхности (или, точнее, для подозрительной поверхности) является следующее обобщение условий (7.4.8):

Условие здесь в точности то же, что в (7.4.8). берутся в том же смысле, как обычно в нашей теории; они определяют каждое как функции зависящие от и доставляющие минимакс в как раньше доставляли минимакс в основном уравнении; поэтому можно записать в виде

по аналогии с основным уравнением (4.2.3). по-прежнему означают

но при вычислении производных, таких, как все и считаются постоянными. Затем их нужно заменить определенными выше которые являются функциями от

Доказательство в сущности то же, что и раньше. Запишем основное уравнение:

Как и в § 7.4, если минимизирующее значение является внутренним, то оба члена в этом уравнении равны нулю; отсюда получаем и получаем, как и раньше, из

требования на универсальной поверхности и из того, что для входящих в универсальную поверхность траекторий должны выполняться наши обычные уравнения характеристик в регрессивной форме. Здесь они имеют вид

В уравнениях для производные по х, получаем, считая постоянными. Эти уравнения используем для вычисления

Однако если бы мы попытались здесь повторить вывод дальнейших необходимых условий, как это было сделано раньше для случаев и 4, мы сразу же столкнулись бы с затруднениями. Прежняя простота исчезает даже для случая потому что уравнения (7.13.2) теперь уже нелинейны относительно Однако они однородны, т. е. удовлетворяются при и новый критерий представляет собой условие существования ненулевого решения. Дальнейшие примеры демонстрируют некоторые наши возможности в этом направлении.

На самом деле многие частные задачи можно решать, не прибегая к формальной теории. Может случиться, что число управлений невелико и построение решения очевидно. Например, если эти управления все входят линейно, тогда каждое из них может принимать лишь два значения, а какое из них верно, можно непосредственно заключить из простых соображений.

Нужно заметить, что для основного уравнения условие также выполняется в силу предположения (7.13.1). Тогда, поскольку непрерывны на универсальной поверхности, все управления также непрерывны на ней.

Пример 7.13.1. Обобщение примеров 7.3.1 и 7.5.1. Пусть минимизирующий игрок обладает вектограммой в форме прямоугольного равнобедренного треугольника (см. рис. 7.3.5), а максимизирующий игрок имеет круговую вектограмму, причем радиус круга является гладкой функцией, определенной на плоскости. Тогда скорость точки х равна сумме двух векторов, выбранных из этих вектограмм. Напишем уравнения движения (ср. с примером 7.5.1)

где предполагается также, что всегда меньше и.

Подсчитаем и составим таблицу

(см. скан)

Условие здесь имеет вид

Как обычно, обозначив найдем

тогда превращается в

Но условие здесь имеет вид поскольку получаем, что Так как точка х всегда должна перемещаться вниз, поэтому Таким образом, т. е. на универсальной поверхности всегда стремится перемещать х вертикально вверх.

Итак, условие здесь имеет вид

и искомым условием для универсальной поверхности будет

Это лишь «необходимое» условие; сделанные раньше на этот счет замечания применимы также и здесь.

Пример 7.13.2. Игра «шофер-убийца». Вернемся к примеру 7.5.2, где задача решалась при условии, что пешеход неподвижен; будем теперь снова считать, что пешеход обладает простым движением. Это означает, что мы добавляем в уравнения движения примера 7.5.2 члены, соответствующие круговой вектограмме

радиуса где скорость пешехода, и, таким образом, получаем уравнения движения для игры «шофер-убийца»:

Затем составляем таблицу

(см. скан)

Из условия получаем, как в предыдущем примере:

Тогда дает

откуда Если также и то из следует что невозможно; следовательно, Поскольку условие имеет вид

получаем уравнение поверхности, подозрительной на универсальность:

Результат совпадает с тем, который был получен в примере 7.5.2, и здесь применимы те же самые объяснения. Оптимальное развитие игры в простом случае изображено на рис. 1.5.2, а.

Чтобы показать, что это действительно так, нужно исследовать траектории, входящие в универсальную поверхность, но мы не будем производить здесь полного анализа. Нас интересует пока лишь — направление оптимального движения

Напомним, что основное уравнение имеет вид (мы снова возвращаемся к обозначениям х, у)

а так как на универсальной поверхности, то ясно, что скобка обращается в нуль. Поскольку на универсальной поверхности мы получаем, что на ней Обычным способом находим

откуда (ясно, что на универсальной поверхности). Следовательно, точкам универсальной поверхности соответствует движение по прямой; также движется по прямой — он просто убегает от

Вернемся теперь к притокам. Среди уравнений характеристик есть уравнения

где в зависимости от того, на какой стороне универсальной поверхности находится точка х. Эти уравнения означают, что вектор вращается с угловой скоростью Как видно из формул (7.13.4), скорость движения также направлена вдоль этого вектора, и, следовательно, имеет ту же самую скорость вращения. Но с такой же скоростью вращается при повороте максимальной крутизны, поэтому не поворачивается вокруг в естественном пространстве траекторией будет прямая.

Наконец, непрерывность на универсальной поверхности означает, что направление движения также непрерывно. Из этого следует, что первоначальная скорость должна быть направлена по касательной к одной из окружностей минимального радиуса кривизны. Таким образом, ход развития игры, который был описан в § 1.5, оказывается оптимальным.

Проблема 7.13.1. Асимметричная игра «шофер-убийца». Пусть теперь скорость пешехода зависит от Показать, что в этом случае условие для универсальной поверхности имеет вид

Здесь предполагается, что в противном случае плюс заменяется минусом. Скорость движения задана как функция

его относительных координат. Обладая некоторой фантазиен, читатель может представить себе, что поставленная задача описывает следующую ситуацию. Автомобиль снабжен освещающими путь фарами (возможно, что эти фары несимметричны); погоня за пешеходом происходит в темноте по пересеченной местности. Скорость пешехода тем больше, чем лучше он освещен. Тогда для выгоднее перемещаться наискось, чтобы хуже освещать дорогу своей жертвы.

Поскольку уравнения (7.13.2) однородны относительно при условие является уравнением первой степени, и его можно использовать для исключения одного из скажем, из и Тогда эти два условия можно записать в виде уравнения относительно Наше дальнейшее необходимое условие состоит в требовании существования общего действительного корня этих уравнений.

Пример 7.13.3. Пусть игра описывается уравнениями

Условия фгуниверсальной поверхности имеют вид

где

Исключая из и получаем алгебраическое уравнение относительно Заменяя и возводя в квадрат, получаем второе уравнение. Мы приходим к трем однородным алгебраическим уравнениям: и

Исключаем из них V, и получаем алгебраическое уравнение поверхности, подозрительной на универсальность:

где

Упражнение 7.13.1. Показать, что для предыдущего примера условие для -универсальной поверхности также является однородным уравнением, и найти его вид.

Проблема 7.13.2. Всегда ли справедливо утверждение, что уравнения (7.13.2) однородны относительно ?