10.6. ПРИМЕР С ЭКИВОКАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ; ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Может ли дифференциальная игра на самом деле иметь в качестве части своего решения экивокальную поверхность? Если да, то в случае, подобном изображенному на рис. 10.5.1, часть первичного решения будет резко прервана даже несмотря на то, что отброшенная часть будет частью формально верной конструкции. Такое положение дел достойно пристального исследования, которое мы проведем с этой точки зрения в примере 10.6.1.

При рассмотрении этого примера выяснится еще одна полезная деталь. Она относится к изучению той части игры «шофер-убийца», которая касается прохождения около конца барьера. Эти вопросы настолько близки, что гарантируется возможность применения нижеследующих заключений непосредственно к основной игре «шофер-убийца».

Пример 10.6.1. Игра с экивокальной поверхностью. Возьмем в качестве верхнюю полуплоскость 0), а в качестве - положительную часть оси х

Платой будет время окончания игры. Вектограмма для представлена на рис. 10.6.1, а.

Рис. 10.6.1. (см. скан)

Вертикальная компонента ограничена константой в то время как горизонтальная равна гладкой, возрастающей и положительной функции. А игрок пусть имеет круговую вектограмму фиксированного радиуса Мы требуем, чтобы и чтобы существовало одно и только одно значение для которого

Из примера 8.4.3 мы знаем, что существует барьер . На рис. он изображен в виде дуги координатами точки В служат в, где Отметим, что в точке В барьер

вертикален, он заканчивается так же, как и в игре «шофер-убийца», когда он касается прямой, параллельной базовой линии -вектограммы.

Траектории с наименьшим временем, когда начальные положения достаточно удалены вправо, чтобы допустить беспрепятственный подход к получить легко. Поскольку все векторы не зависят от х, игроки просто максимизируют и минимизируют свои компоненты скорости, направленные вертикально вниз, т. е. выбирает свой нижний крайний вектор, скорость, направленную вертикально вверх.

Рис. 10.6.2.

Результирующие траектории являются сдвигами одной и той же кривой и изображены на рис. 10.6.1, б. Обозначим через дугу той из этих траекторий, которая проходит через точку пусть лежит слева от В. Траектории, не оканчивающиеся на 38, образуют первичное семейство. Очевидно, что в первичной области

Упражнение 10.6.1. Найти полное решение в первичной области при

Казалось бы, решение сейчас можно закончить, взяв в каче» стве начальных условий значение цены игры на и найдя оптимальные траектории, которые подходят к снизу, т. е. считая, что полууниверсальная кривая, а оптимальные траектории выглядят так, как на рис. 10.6.2.

Такое решение и в самом деле можно построить, положив на равной значению V, вычисленному по формуле (10.6.1); пусть выберет свой крайний верхний вектор скорости. Соответствующий анализ проделать нетрудно.

Задача 10.6.1. Доказать, что решение, изображенное на рис. 10.6.2, а, можно построить, и практически осуществить построение для конкретных данных упражнения 10.6.1.

Теорема 10.6.1. Предыдущая конструкция дает неверное решение.

Доказательство. Предположим, что решение верно. Тогда оптимальная стратегия для означает выбор самого нижнего вектора скорости для значений х, лежащих выше или на и самого верхнего для значений, лежащих ниже На как мы уже видели, оптимальное значение приводит к векторам для направленным вертикально вверх.

Эти векторы показаны на диаграмме 10.6.2, б, где X — точка дуги Стратегии означают, что выбирает скорость скорость Их сумма касается

Пусть теперь будет играть по-другому. В некоторой окрестности дуги игрок выбирает вектор скорости, указывающий влево; на рисунке он представлен вектором Пусть использует К-стратегию (§ 2.6), тактикой которой является и к тому же настолько мелко разбивает отрезок времени, что все точки, в которых он принимает решения, попадают внутрь

Для X, лежащих на игрок выбирает вектор Сумма будет теперь равна что переводит х (или X) в точку, лежащую ниже Тогда следующее решение состоит в выборе верхнего вектора что приводит к суммарной скорости В результате х вновь будет переведен на или выше нее, и суммарная скорость будет опять равна

Итак, х, выбирая поочередно скорости и движется по траектории, колеблющейся около Такое движение при размельчении разбиения отрезка времени эквивалентно, как легко видеть, движению со скоростью (вектор из замкнутой линейной оболочки векторов и касающийся Это означает, что плата теперь становится такой, как если бы играл с помощью промежуточного значения приводящего к суммарной скорости отрезок горизонтальной прямой).

Но Следовательно, если х вдоль попеременно меняет скорости и движется медленнее, то плата возрастает. Итак, тип игры, подобный изображенному на рис. 10.6.2, а, не оптимален, так как может добиться лучшей платы, используя

против Р К-стратегию состаточно мелким разбиением отрезка времени и с тактикой

Следствие 10.6.1. Не все первичное решение годится для решения задачи.

Доказательство. Если «решение» над верно, то можно сформулировать новую игру, для которой пространство ограничено кривыми и отрицательной частью оси х. Здесь образуют поверхность в допустимой областью которой является, очевидно, Далее, функция должна быть первичной ценой игры на в то время как вновь будет равна 1. Истинное решение этой новой игры нетрудно построить. Мы утверждаем, что оно имеет вид 10.6.2, а (и предлагаем проверить это в задаче 10.6.1). Тогда решение исходной игры будет как раз таким, каким, как мы только что доказали, оно не может быть.

До того как продолжить решение этого примера, заметим, что по существу та же самая конструкция имеет смысл в подобных играх для одного игрока.

Рис. 10.6.3.

Пример 10.6.2. Сохраняются условия примера 10.6.1, но только здесь Уравнения движения теперь имеют вид

Барьера теперь нет, но остается; она является теперь траекторией, получаемой на первой стадии решения и ведущей в начало координат. Применяя предыдущие идеи, мы придем к результату, изображенному на рис. 10.6.3, а. Используя теорему 10.6.1, дадим краткое непосредственное доказательство правильности полученного решения.

Очевидно, что должен использовать свой нижний крайний вектор на протяжении всей партии, если только это приводит х на Действительно, мы можем подсчитать плату, зная лишь вертикальную составляющую скорости, иными словами, нужно рассматривать время, необходимое для того, чтобы проекция точки х на ось у опустилась бы до Но дает максимальную возможную направленную вниз скорость на протяжении всей игры и потому, разумеется, является оптимальной стратегией. Итак, первичные траектории дают верное решение.

Пусть теперь х движется от данной точки А до данной точки В, лежащей справа от и достаточно отдаленной, для того чтобы вышеописанная стратегия была неприменима. Траектория с наименьшим временем изображена на рис. 10.6.3, б. Слева а справа Существует только одна такая траектория, так как если провести траекторию с через А и регрессивную траекторию с через В, то они пересекутся лишь в одной точке. Для того чтобы показать, что эта траектория оптимальна, мы будем считать время в терминах горизонтальной компоненты скорости. Она возрастает с ростом у и очевидно, что траектория на рис. 10.6.3, б достигает максимального суммарного у.

Итак, если начальная точка лежит слева от то траектория, идущая в точку О с наименьшим временем, имеет вид, показанный на рис. 10.6.3, а. Наконец, время не может быть уменьшено, если впервые достигнет в точке, лежащей правее О, потому что если бы это было так, то траектория пересекала бы в первый же такой момент она оказалась бы под эгидой первичной стратегии и проследовала бы по до О.

Задача 10.6.2. Показать, что если следовательно, не всегда положительно, то не вся кривая играет роль носителя начальных условий для траекторий вторичной стадии.

Задача 10.6.3. По-прежнему считаем и расширим до всей плоскости. Пусть к за исключением, быть может, точки О, можно подходить лишь сверху. Показать, что существуют траектории третьей стадии.