8.2. ПОНЯТИЕ БАРЬЕРА

Здесь будет удобно изменить определение окончания игры. Потребуем, чтобы точка х не только достигала поверхности но также и пересекала ее. Если х достигает поверхности не пересекая ее, а затем в конце концов возвращается в У, то такой исход не будет считаться захватом или избежанием его: мы будем рассматривать его как третий возможный исход, приписав ему нулевое значение платы.

Мы будем называть этот третий исход нейтральным. Его следует рассматривать как промежуточный случай между захватом и избежанием его. Объясняется это тем, что лишь в нейтральном случае играют решающую роль действия обоих игроков, каждый из которых на протяжении всей партии находится под угрозой ухудшения платы. Вообще говоря, это единственный случай, когда оптимальные стратегии определены и детерминированы, так что есть возможность построения точной теории.

Напоминаем, что всякой дифференциальной игре соответствует семейство траекторий, каждая из которых исходит из заданной начальной точки. При этом должна иметь место одна из следующих трех возможностей:

(Е) для всех начальных точек из выполняется (8.1.1),

(С) для всех начальных точек из выполняется (8.1.2),

(М) содержит начальные точки того и другого рода.

Множество начальных точек, для которых выполняется (8.1.1), будем называть областью избежания захвата;

аналогично, множество точек, для которых выполняется (8.1.2) — областью захвата.

Если выполняется то существуют обе области. Вообще говоря, они должны быть разделены поверхностью, состоящей из точек, которым соответствует нейтральный исход. Эту поверхность мы называем барьером.

Основой нашего подхода к исследованию игр качества является нахождение барьеров. Знание их автоматически дает нам знание области захвата и области его избежания и тем самым выделяет положения, в которых может избежать захвата или осуществить его для случая Этот случай возникает в самых интересных задачах, ибо если всюду выполняется или то ситуация часто оказывается довольно ясной.

Наши идеи оказываются применимыми даже в том случае, когда не имеет места. Действительно, каждую игру характеризуют некоторые параметры — скорости, радиус захвата и т. д. — которые входят в уравнения движения, в функции или определяют Изменяя их, часто можно добиться выполнения условия хотя для первоначальной игры оно и не выполнялось. Таким образом, мы включаем рассматриваемую игру в континуум игр, изменяя некоторые параметры.

Например, мы уже рассматривали случай игры двух автомобилей, когда выполняется (область захвата совпадает с У). Допустим теперь, что скорость игрока превышает скорость игрока Если вначале скорость направлена в сторону, противоположную он может избежать захвата, двигаясь прямой. Но если начальное положение таково, что скорости направлены навстречу друг другу, а расстояние достаточно мало, то интуитивно ясно, что захват все же произойдет. Таким образом, обе области не пусты. Следовательно, имеется поверхность — барьер, разделяющий их.

Теперь, начиная с какого-нибудь подобного случая, будем непрерывно менять параметры таким образом, чтобы это было выгодно для Мы знаем, что это можно сделать так, что в некоторый момент все пространство становится областью захвата. Что же происходит тогда с барьером, который, как мы предполагаем, непрерывно изменяется? Начиная с некоторой критической точки, барьер перестает разделять на две части.

Это верно в общем случае. Мы расширим понятие барьеров так, чтобы оно включало поверхности, не делящие пространство на две части, если такие поверхности получились преобразованием барьеров (в первоначальном смысле) при непрерывном изменении параметров. Это определение может показаться

неясным; оно представляет собой не более как описание некоторого построения, которое будет приведено далее.

Барьер в этом более широком смысле — когда он не разделяет области захвата и избежания захвата — также представляет собой, как мы увидим, важную сингулярную поверхность для некоторой игры степени с выбранной определенным образом непрерывной платой. В общем случае барьер будет поверхностью типа или т. е. при оптимальной игре не пересекается траекториями, и функция V в точках барьера терпит разрыв. Хотя барьер может и не являться границей области избежания захвата, тем не менее он описывает некоторое множество начальных точек, где задача для оказывается более трудной.

Принимая во внимание, что наилучшие значения можно найти лишь для нейтрального исхода, т. е. когда х находится на барьере, мы будем употреблять термин «оптимальная стратегия» при рассмотрении игр качества именно в этом смысле. То есть теперь определены только для точек барьера.

Возможно, что такое выделение нейтрального исхода вызовет следующие возражения. Поскольку — замкнутое множество в пространстве то любое достижение его точкой х должно означать захват. То, что не пересекается траекторией, не существенно, поскольку ни одно из уравнений движения не описывает движение х вне пространства У.

Эти возражения можно устранить путем следующего изменения понятия барьера, позволяющего в то же время сохранить его сущность. Представим себе поверхность параллельную поверхности и расположенную на расстоянии от нее внутри пространства У. Будем предполагать, что ввиду непрерывности уравнений движения барьер, соответствующий мало отличается от барьера, соответствующего если мало. Допустим, что начинает игру из точки х, лежащей в области избежания захвата; он выбирает настолько малым, чтобы точка х лежала также в зоне избежания захвата, относящейся к Пусть затем действует так, как если бы поверхность была терминальной. Стратегия его произвольна, пока х не оказывается на новом барьере: здесь действует оптимально. Но нейтральный исход в новой игре означает в первоначальной игре избежание захвата. Если х находится в области захвата, то действия подобны действиям в предыдущем рассуждении.

Очень важным является тот факт, что

барьер есть полупроницаемая поверхность.

Действительно, пусть х лежит на барьере, отделяющем область захвата от области избежания захвата. Тогда игрок

должен иметь возможность выбрать значение которое не давало бы х войти в зону избежания захвата, ибо в противном случае может избежать захвата в партии, начинающейся в точке х. Аналогично, должен удерживать х от перехода в зону захвата. Возможность предупреждать проникновение х в нежелательную для данного игрока область оба игрока, по определению, имеют лишь на полупроницаемой поверхности.

Заметим в добавление к сказанному, что эта поверхность должна иметь определенную ориентацию, а именно — направление пересечения, которое может предотвратить, должно вести в область захвата.

Таким образом, мы должны заняться вопросом о построении полупроницаемых поверхностей.