Главная > Дифференциальные игры
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.2. ПОНЯТИЕ БАРЬЕРА

Здесь будет удобно изменить определение окончания игры. Потребуем, чтобы точка х не только достигала поверхности но также и пересекала ее. Если х достигает поверхности не пересекая ее, а затем в конце концов возвращается в У, то такой исход не будет считаться захватом или избежанием его: мы будем рассматривать его как третий возможный исход, приписав ему нулевое значение платы.

Мы будем называть этот третий исход нейтральным. Его следует рассматривать как промежуточный случай между захватом и избежанием его. Объясняется это тем, что лишь в нейтральном случае играют решающую роль действия обоих игроков, каждый из которых на протяжении всей партии находится под угрозой ухудшения платы. Вообще говоря, это единственный случай, когда оптимальные стратегии определены и детерминированы, так что есть возможность построения точной теории.

Напоминаем, что всякой дифференциальной игре соответствует семейство траекторий, каждая из которых исходит из заданной начальной точки. При этом должна иметь место одна из следующих трех возможностей:

(Е) для всех начальных точек из выполняется (8.1.1),

(С) для всех начальных точек из выполняется (8.1.2),

(М) содержит начальные точки того и другого рода.

Множество начальных точек, для которых выполняется (8.1.1), будем называть областью избежания захвата;

аналогично, множество точек, для которых выполняется (8.1.2) — областью захвата.

Если выполняется то существуют обе области. Вообще говоря, они должны быть разделены поверхностью, состоящей из точек, которым соответствует нейтральный исход. Эту поверхность мы называем барьером.

Основой нашего подхода к исследованию игр качества является нахождение барьеров. Знание их автоматически дает нам знание области захвата и области его избежания и тем самым выделяет положения, в которых может избежать захвата или осуществить его для случая Этот случай возникает в самых интересных задачах, ибо если всюду выполняется или то ситуация часто оказывается довольно ясной.

Наши идеи оказываются применимыми даже в том случае, когда не имеет места. Действительно, каждую игру характеризуют некоторые параметры — скорости, радиус захвата и т. д. — которые входят в уравнения движения, в функции или определяют Изменяя их, часто можно добиться выполнения условия хотя для первоначальной игры оно и не выполнялось. Таким образом, мы включаем рассматриваемую игру в континуум игр, изменяя некоторые параметры.

Например, мы уже рассматривали случай игры двух автомобилей, когда выполняется (область захвата совпадает с У). Допустим теперь, что скорость игрока превышает скорость игрока Если вначале скорость направлена в сторону, противоположную он может избежать захвата, двигаясь прямой. Но если начальное положение таково, что скорости направлены навстречу друг другу, а расстояние достаточно мало, то интуитивно ясно, что захват все же произойдет. Таким образом, обе области не пусты. Следовательно, имеется поверхность — барьер, разделяющий их.

Теперь, начиная с какого-нибудь подобного случая, будем непрерывно менять параметры таким образом, чтобы это было выгодно для Мы знаем, что это можно сделать так, что в некоторый момент все пространство становится областью захвата. Что же происходит тогда с барьером, который, как мы предполагаем, непрерывно изменяется? Начиная с некоторой критической точки, барьер перестает разделять на две части.

Это верно в общем случае. Мы расширим понятие барьеров так, чтобы оно включало поверхности, не делящие пространство на две части, если такие поверхности получились преобразованием барьеров (в первоначальном смысле) при непрерывном изменении параметров. Это определение может показаться

неясным; оно представляет собой не более как описание некоторого построения, которое будет приведено далее.

Барьер в этом более широком смысле — когда он не разделяет области захвата и избежания захвата — также представляет собой, как мы увидим, важную сингулярную поверхность для некоторой игры степени с выбранной определенным образом непрерывной платой. В общем случае барьер будет поверхностью типа или т. е. при оптимальной игре не пересекается траекториями, и функция V в точках барьера терпит разрыв. Хотя барьер может и не являться границей области избежания захвата, тем не менее он описывает некоторое множество начальных точек, где задача для оказывается более трудной.

Принимая во внимание, что наилучшие значения можно найти лишь для нейтрального исхода, т. е. когда х находится на барьере, мы будем употреблять термин «оптимальная стратегия» при рассмотрении игр качества именно в этом смысле. То есть теперь определены только для точек барьера.

Возможно, что такое выделение нейтрального исхода вызовет следующие возражения. Поскольку — замкнутое множество в пространстве то любое достижение его точкой х должно означать захват. То, что не пересекается траекторией, не существенно, поскольку ни одно из уравнений движения не описывает движение х вне пространства У.

Эти возражения можно устранить путем следующего изменения понятия барьера, позволяющего в то же время сохранить его сущность. Представим себе поверхность параллельную поверхности и расположенную на расстоянии от нее внутри пространства У. Будем предполагать, что ввиду непрерывности уравнений движения барьер, соответствующий мало отличается от барьера, соответствующего если мало. Допустим, что начинает игру из точки х, лежащей в области избежания захвата; он выбирает настолько малым, чтобы точка х лежала также в зоне избежания захвата, относящейся к Пусть затем действует так, как если бы поверхность была терминальной. Стратегия его произвольна, пока х не оказывается на новом барьере: здесь действует оптимально. Но нейтральный исход в новой игре означает в первоначальной игре избежание захвата. Если х находится в области захвата, то действия подобны действиям в предыдущем рассуждении.

Очень важным является тот факт, что

барьер есть полупроницаемая поверхность.

Действительно, пусть х лежит на барьере, отделяющем область захвата от области избежания захвата. Тогда игрок

должен иметь возможность выбрать значение которое не давало бы х войти в зону избежания захвата, ибо в противном случае может избежать захвата в партии, начинающейся в точке х. Аналогично, должен удерживать х от перехода в зону захвата. Возможность предупреждать проникновение х в нежелательную для данного игрока область оба игрока, по определению, имеют лишь на полупроницаемой поверхности.

Заметим в добавление к сказанному, что эта поверхность должна иметь определенную ориентацию, а именно — направление пересечения, которое может предотвратить, должно вести в область захвата.

Таким образом, мы должны заняться вопросом о построении полупроницаемых поверхностей.

1
Оглавление
email@scask.ru