9.4. ИЗОТРОПНЫЕ РАКЕТЫ. БАРЬЕР-ОГИБАЮЩАЯ

Для того чтобы завершить решение этой игры качества, нужно использовать идеи пункта III из § 8.5. Построим кривые в недопустимой области границы. Эти кривые будут огибающими оптимальных траекторий, составляющих полупроницаемую поверхность, которая проходит через эти кривые.

Поскольку большая часть результатов, доказанных в этом параграфе, справедлива на мы введем новые параметры.

Положим

а третью координату обозначим Таким образом, мы заменили на на Величины будут координатами на

Так же как и в § 9.3, мы имеем на

Итак, для любых для которых

мы можем выбрать

Таким образом, независимо от Следовательно, основная посылка теоремы 8.5.1 выполнена.

Условие (9.4.2) определяет неоднозначно. При имеются две возможности. Они изображены на рис. 9.4.1. Поскольку расстояние остается равным векторы имеют одинаковые проекции (выделенные фигурными скобками) на прямую Игрок может выбрать один из двух пунктирных векторов.

Рис. 9.4.1.

Так как цель ускользнуть, то естественно, что он выберет вектор, лежащий по другую по отношению к сторону от прямой Из рис. 9.3.1, а следует, что такой выбор соответствует условию

Полагая запишем уравнения движения игры используя терминологию теоремы 8.5.1.

Уравнения движения игры имеют вид

Умножая первое уравнение на второе на и вычитая второе уравнение из первого, получаем

Теперь запишем уравнения движения игры

Полагая

и обращая время, получаем

В плоскости

есть уравнение границы допустимой области, а

суть координаты точки где (см.

Наша цель сейчас — построить полупроницаемую поверхность игры (с уравнениями движения (9.4.3)), проходящую через

Рис. 9.4.2.

Рис. 9.4.3.

На рис. 9.4.2 она изображена пунктиром и пересекает ось при

Уравнения (9.4.4) имеют вид

где Вектограмма при показана на рис 9.4.3. В правой полуплоскости полупроницаемой поверхности

соответствует вектор, выделенный на рисунке жирной стрелкой. Если то полупроницаемой поверхности не существует даже локально.

Выделенный на рисунке вектор минимизирует отношение и тем самым определяется из соотношения

Это означает, что в обозначениях теоремы 8.5.1) равен Следовательно,

Введем удобные обозначения:

где

Заметим, что в точке

и

Теперь возникает задача об изучении поведения интегральной кривой уравнения (9.4.6) в момент ее прохождения через Заметим, что в точке эта кривая имеет наклон

и, следовательно, касается границы допустимой области, которая имеет наклон

Для завершения изучения барьера мы должны доказать три факта:

1) при интегрировании дифференциального уравнения выполняется соотношение

2) интегральная кривая, проходящая через достигает оси при

3) в исходном пространстве траектории, имеющие начальные условия, лежащие на этой интегральной кривой, составляют новую часть барьера, которая без зазоров примыкает к старой и отгораживает вместе с ней часть пространства У.

Полностью доказать эти утверждения автору не удалось, но то, что осталось недоказанным, кажется очень правдоподобным. Надо отметить следующее:

1. Условие эквивалентно условию Далее, (9.4.7) показывает, что имеет действительное значение в точке следовательно, интегральную кривую можно продолжить за по крайней мере на некоторое положительное расстояние.

2. У нас есть (не приведенное в этой книге) доказательство того факта, что если остается достаточно большим, то выполнено утверждение (2).

3. См. следствие 8.5.1 и последующий текст.

Наконец покажем, что если не выполняется условие избежания захвата то утверждения 1) и 2) не могут быть верными, поскольку при

и

Нам важно последнее из этих соотношений для Вблизи от обоих концов этого отрезка Максимум достигается при

т. е. при и равен в этой точке

Итак, если не выполняется условие избежания захвата, то не может быть положительным на отрезке от (0,0) до поэтому интегральная кривая, проходящая через заканчивается, не доходя до этого отрезка.

Но если захват осуществим, то как раз и следует ожидать, что барьер окончится, не ограничивая части фазового пространства.

Что же все это означает в терминах кинематики исходной задачи? Приближенно это показано на рис. 9.4.4. Прежде всего разберем случай, когда исход нейтрален и преследует Движение каждого из них элементарно: движется прямолинейно, а сохраняет постоянное направление своего ускорения.

В конце концов достигает круга захвата (Л); их движение должно быть таким, чтобы траектория касалась траектории границы круга. Далее используя стратегию выбирая направление, показанное на рис. 9.4.1), остается на окружности. На протяжении этой фазы выбирает соответствующее выделенному вектору на рис. 9.4.3. Соответствующие движения в естественном пространстве имеют довольно сложный вид. Наконец, если достигнет некоторой точки на границе круга захвата, он сможет покинуть его, не опасаясь немедленного захвата.

Рис. 9.4.4.

Таким образом, он совершил маневр, который можно назвать «увертыванием с соприкосновением».

Упражнение 9.4.1. Дополнить рис. 9.3.2, изобразив иовый барьер-огибающую так, как вы его представляете.