9.6. ОБОБЩЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИГРЫ С ЛИНИЕЙ СМЕРТИ

Пример 9.6.1. Односторонняя игра с линией смерти. Будем считать, что игрок начинает свое движение намного левее Игрок находится на расстоянии, большем I, над прямой Цель состоит в том, чтобы, двигаясь вправо, пройти между не будучи захваченным. Цель разумеется, состоит в противоположном.

Различие между этой задачей и задачей предыдущего параграфа состоит в отсутствии симметрии. Здесь имеется тот же барьер, но мы уже не прерываем его при Иными словами, уравнения (9.5.10) по-прежнему описывают соответствующую полупроницаемую поверхность, но область значений параметров расширена: На чертеже, соответствующем рис. 9.5.6, мы сохраним лишь правую границу заштрихованной области, продолжая ее, если понадобится, до пересечения с

Здесь мы встречаемся с новым явлением. Нарушен наш основной принцип: барьер больше не разделяет пространство У. От этого он не стал менее значительным для нас, но природа

этой значительности изменилась. Здесь начинает играть роль топология. Прежде чем мы продолжим изложение вопроса, неплохо представить себе, как выглядит наш асимметричный барьер.

Рассмотрим кривую на рис. 9.5.5. Если продолжить ее за точку В, то из ее уравнений следует, что она образует спираль вокруг цилиндра Барьер, образованный касательными, проведенными в одну сторону от кривой, является поверхностью, напоминающей геликоид с лучами. Все эти лучи поднимаются вверх, поскольку из уравнения (9.5.10) следует, что затем они пересекут горизонтальное сечение при условии, что все они излучаются из точки кривой лежащей ниже этого сечения. Итак, при пересечении мы получим спираль, число витков которой растет с увеличением высоты сечения. Несколько случаев, соответствующих возрастанию показано на рис. 9.6.1.

Создавшееся положение подсказывает формулировку игры, в которой плата равна целому неотрицательному числу.

Пример 9.6.2. Петли вокруг преследователя. Пусть игрок начинает свое движение слева, как и в предыдущем примере, и оканчивает его далеко справа.

Рис. 9.6.1.

Платой является число оборотов против часовой стрелки, которое может сделать вокруг не будучи захваченным и не касаясь прямой или —1, если не может пройти между

Нетрудно понять, в чем заключается решение этой задачи. Кривые на рис. 9.6.1 (разумеется, для фиксированного положения разделяют начальные точки, отвечающие различным значениям цены игры, примерно тем же топологическим способом, как листы римановой поверхности разделяют различные ветви функции Например, если начинает движение из точек то цепа игры будет соответственно 0,1,2.

Пример 9.6.3. Крыса, загнанная в угол. Крыса загнана в угол (любой величины) котом При каких условиях она может убежать? В некоторых случаях — один из них показан на рис. 9.6.2, а — мы можем получить зону захвата, начертив сечения барьера рассмотренного типа для каждой стены.

Рис. 9.6.2.

Крыса не сможет убежать, если она начнет движение из точки, лежащей внутри заштрихованной области.

Для дальнейшего исследования этой задачи необходимы рассуждения, аналогичные рассуждениям, изложенным далее, поэтому перейдем к следующему примеру.

Пример 9.6.4. Патрулирование коридора. Пусть находится между двумя параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии Его задача — пройти мимо патруля и не быть пойманным.

Рис. 9.6.2,6 изображает положение, когда должен искать спасение справа от Как и прежде, два сечения барьера ограничивают зону захвата (заштрихована на рисунке), т. е. такие точки, для которых прохождение может быть предотвращено соответствующими действиями

В этих задачах интуитивно ясно, что при подходящих значениях параметров окажется способным пройти мимо и избежать захвата из всех (за исключением, может быть, некоторого несущественного множества) начальных точек.

Выясним и уточним положение, возникающее при пересечении барьеров. Предположим, что, анализируя некоторую общую игру качества, мы обнаружили, как показано на рис. 9.6.3, где для простоты два возможных пересекающихся барьера. Заметим, что их ориентация противоположна ориентации в прежних случаях, как, например, в игре «шофер-убийца». Там мы видели,

что отбрасывание барьеров после точки их пересечения оправдано. Здесь мы покажем, что барьеры нужно отбросить целиком.

Предположим, что барьеры не статичны, т. е. при оптимальной игре х движется по ним по направлению к Пусть х начинает свое движение из точки которая находится в зоне захвата, очень близко к барьеру При использовании обоими, игроками оптимальной (очень близкой к нейтральной) стратегии движение будет происходить почти параллельно

Рис. 9.6.3.

В конце концов х достигнет точки вблизи точки пересечения барьеров. Если будут использованы те же стратегии, то х пересечет и избежит захвата.

Заметим, что не может этого предотвратить. Пересечение барьеров не дает возможности игроку угадать, какую стратегию применит противник (относится ли она к или к Мгновенная смешанная стратегия здесь ничего не дает. Предположим, что в точке игрок решает применить стратегию, относящуюся к Если тоже использует ее, то мы видели, что х пересекает и избегает захвата. Если же применяет другую стратегию, то стратегия дает возможность х пересечь и снова избегает захвата. Итак, все соседние области принадлежат зоне избежания захвата.

Такой вид пересечений встречается в нашей игре при достаточно большом рассмотрим, например, рис. 9.6.4. Для того чтобы учесть наличие обеих стен коридора, введем очевидным образом новые координаты Две кривые 3) являются переплетающимися спиралями (рис. 9.6.4, а). На рис. мы пытаемся наглядно изобразить пересечение барьеров. Читатель может убедиться в том, что их ориентация такая, как на рис. 9.6.3. Отсюда мы заключаем, что если

коридор настолько широк, что два барьера пересекаются, как на рис. 9.6.4, в, то может пройти из любой исходной точки. Сейчас мы докажем существование критической ширины коридора, при которой имеется пересечение такого вида независимо от положения в коридоре, и вычислим ее.

Рис. 9.6.4. (см. скан)

Пусть обозначает критическую ширину, для которой начинается пересечение, если расположен в середине коридора В сечении горизонтальной плоскостью барьеры должны пересечься с кругом захвата при Придавая эти значения и полагая в получаем

или

Сформулируем следующее утверждение:

Если то может пройти мимо из любой начальной позиции ( не может защитить коридор), при это не имеет места.

Достаточно показать, что из следует, что сеченич барьеров пересекаются. Для расположенного в середине коридора, это верно. Для произвольного положения как на рис. достаточно показать, что при два сечения барьеров пересекаются на границе круга захвата независимо от положения Это эквивалентно тому, что две спирали на рис. 9.6.4, а совпадают при

Уравнение одной спирали дается формулой (9.5.9); для того чтобы получить уравнение второй, нужно заменить на. на Наш результат следует из того, что подстановка автоматически осуществляет такую замену. Например, для (9.5.9) и (9.6.1)

Тем самым утверждение (9.6.2) доказано.

Пример 9.6.5. Линия патрулирования. Имеется прямой ряд равноотстоящих друг от друга одинаковых преследователей. При каком условии один игрок может пройти сквозь этот ряд, не будучи захваченным?

Рис. 9.6.5.

Представим себе коридоры, расположенные между соседними как показано на рис. 9.6.5. Применив принцип отражения, заключаем, что наша игра превращается в предыдущую. Следовательно, достаточное условие того, что линия патрулирования окажется эффективной, заключается в том, чтобы расстояние между патрулями было меньше

Проблема 9.6.6. Окружность патрулирования. Имеется совокупность равноотстоящих друг от друга преследователей расположенных по окружности. При каких условиях они смогут предотвратить побег который в начальный момент находится внутри круга?

Эта игра связана с игрой «крыса, загнанная в угол» так же, как приведенная выше игра с игрой «патрулирование коридора».

Задача 9.6.1. Исследовать предельный переход при 1 в играх этого параграфа. Показать, что в игре «крыса, загнанная в угол» и в играх, связанных с коридором, всегда существует зона захвата.