7.14. ПОЛУУНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Полууниверсальные поверхности относятся к сингулярным поверхностям типа т. е. входящие в них траектории лежат Лишь по одну сторону от них; на другой стороне траектории параллельны поверхности. Существование таких поверхностей подтверждает следующий

Пример 7.14.1. Стрелок и приближающаяся цель. Пусть уравнениями движения будут

Плата интегральная: где положительная гладкая убывающая функция. В качестве возьмем первый квадрант а 46 будет его границей, т. е. двумя положительными полуосями.

Игра допускает, например, следующую интерпретацию. Пусть расположенный в точке стрелок ведет огонь по цели, приближающейся вдоль оси х с единичной скоростью. В каждый момент времени стрелок имеет некоторое количество боеприпасов которое он может расходовать со скоростью, выбранной по его усмотрению в пределах от нуля до единицы. Эта скорость является управлением, фазовой координатой.

Можно показать, что вероятность уничтожения цели есть возрастающая функция величины где интегрирование производится на протяжении всей партии.

Трудно представить себе случай, когда оптимальная стратегия была бы более очевидной: стрелок ожидает приближения цели на расстояние, обусловленное количеством его боеприпасов, т. е. на такое расстояние, чтобы стрелок мог поддерживать огонь максимальной интенсивности, пока цель проходит это расстояние. Соответствующие такой стратегии оптимальные траектории изображены на рис. 7.14.1 (ср. с рис. А.5.4).

Нас интересует здесь полууниверсальная поверхность — прямая проведенная под углом 45° к оси х. Входящие в нее траектории расположены лишь с одной ее стороны.

Ясно, что если изменить соответствующим образом, то роль полууниверсальной кривой может играть любая траектория с наклоном 45°. Этим полууниверсальные поверхности существенно отличаются от универсальных, которых обычно бывает немного; последние определяются из уравнений движения и, вообще говоря, не зависят или

Рис. 7.14.1

Отсюда ясно, почему нельзя построить строгую теорию полууниверсальных поверхностей.

Так же как и при изучении универсальных поверхностей, мы будем рассматривать игры с терминальной платой, единственным управлением и линейными вектограммами (при Тогда, как и раньше, уравнения движения имеют вид

В качестве области, где может появиться полууниверсальная поверхность, рассмотрим некоторую область на гладкой поверхности образованной оптимальными траекториями, исходящими из терминальной поверхности Предполагаем, что в точках из стратегия имеет регулярное поведение; пусть, скажем, Мы хотим знать, при каких условиях можно использовать в качестве начальной поверхности для оптимальных траекторий, для которых Для функций, соответствующих этим новым траекториям, введем обозначения с индексом и т. д.

Теорема 7.14.1. Для того чтобы поверхность служила окончанием траекторий со значением следовательно.

могла быть полууниверсальной, достаточно выполнения следующих условий:

(1) Всюду на плоскость вектограммы не должна быть касательной

(2) В точках этой поверхности должно выполняться равенство (тогда, как будет показано ниже, на можно определить функции

Доказательство. Выберем параметры на таким образом, чтобы на и пусть на этой кривой Тогда параметрические уравнения для будут иметь вид

где правые части представляют собой интегралы уравнений характеристик в регрессивной форме с обычными начальными условиями, т. е. определенными из значений на Сюда входят уравнения

На имеем

Используем (7.14.1) и (7.14.2) в качестве обычных начальных условий; для полученных траекторий мы должны взять К начальным условиям добавим еще значения на

и присоединим основное уравнение для новой системы

Последнее уравнение можно переписать в виде

и в силу (1) определитель системы

отличен от нуля. Тогда мы можем найти V. Так как то если Но, по условию (2),

этого достаточно для построения траекторий по крайней мере в близких точках.

Рис. 7.14.2.

Следствие 7.14.1. На полу универсальной поверхности

Предположим, что не все точки из принадлежат поскольку условие (2) выполняется не всюду на Тогда следует ожидать, что на границе области

Но это уравнение вместе с двумя уравнениями, фигурирующими в формулировке следствия, представляет собой не что иное, как необходимые условия для универсальной поверхности, означающие, что эта поверхность может исходить из границы области На рис. 7.14.2 изображен типичный пример такого

случая. Здесь линия есть но это только где выполняется условие (2). Тогда в точке В справедливо (7.14.3). Кривая является универсальной. Траектории, входящие в нее с нижней стороны, переходят в траектории, входящие в траектории, входящие в нее сверху, представляют собой продолжение семейства траекторий на дальней стороне кривой

Отметим, что если условия (1) и (2) выполняются на некоторой поверхности, то они выполняются и на близких поверхностях. Таким образом, подозрительные полууниверсальные поверхности образуют семейства поверхностей.

Удивительно то, что в рассмотренных автором примерах (часть из них не включена в эту книгу) полууниверсальные поверхности, несмотря на «естественность» их устройства, встречаются гораздо реже, чем универсальные.

Одну интересную возможность появления полууниверсальных поверхностей иллюстрирует пример дополнения. В этом примере за сначала принимается окружность; из нее исходят две «кривые переключения». Если радиус окружности равен нулю, каждая кривая превращается в полууниверсальную.

Задача 7.14.1. Возьмем уравнения движения примера 7.14.1

и положим Пусть и пусть Примем за семейство оптимальных траекторий, проходящих через лежащую в кривую: где Показать, что тогда может быть полууниверсальной поверхностью для