6.9. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩЕЙ ДИЛЕММЫ

Может ли возникнуть такая дилемма в правильно сформулированной задаче? Ответ утвердителен, как видно из следующего примера.

Пример 6.9.1. Игра с постоянно действующей дилеммой. Пространство игры есть верхняя полуплоскость; в качестве выбираем ось х. Плата должна быть терминальной, дифференцируемая гладкая функция; она имеет максимум при и уменьшается при

Пусть уравнения движения таковы:

Тогда точка х имеет фиксированную компоненту скорости, направленную вниз, и, следовательно, должна достичь хочет достичь как можно ближе к прямой как можно дальше от нее. Напишем основное уравнение (4.2.3)

где и уравнения характеристик

Поверхность характеризуется равенствами

и симметрия позволяет нам рассматривать лишь случай

Тогда на

поэтому Из соответствующих уравнений характеристик ясно, что не меняет знак, и, следовательно, эти стратегии остаются неизменными. Интегрирование системы

дает траектории

Случай симметричен; в результате получаем картину, изображенную на рис. 6.9.1. Ясно, что верхняя полуось у является рассеивающей поверхностью. На ней оба игрока могут выбрать любую горизонтальную скорость, по модулю не превосходящую единицы.

Рис. 6.9.1.

Максимизирующий игрок стремится к тому, чтобы точка х продолжала оставаться на рассеивающей поверхности, поэтому он выбирает скорость, противоположную той, которую выбирает Со своей стороны стремится сделать согласованный выбор. Таким образом, все время, пока продолжает удерживать х на рассеивающей поверхности, имеет место постоянно действующая дилемма.

Однако и здесь концепцию постоянно действующей дилеммы можно обойти. Действительно, предположим, что мы квантуем игру так, чтобы игроки имели в своем распоряжении последовательность малых перемещений и каждый мог бы применять оптимальную смешанную стратегию; тогда проигрывает, если х уходиг с рассеивающей поверхности и уже на нее не

возвращается. Вероятность каждого такого проигрыша равна Следовательно, маловероятно, чтобы точка х оставалась долгое время на рассеивающей поверхности.

Если рассматривать игру как непрерывный процесс, как предел все более мелких разбиений, по-видимому, можно считать законным непосредственное перемещение по изображенным траекториям. Конечно, в практических задачах мы можем делать именно так.

Задача 6.9.1. Показать, что если в последнем примере первое из уравнений движения заменить на

то траектории станут такими, как изображает рис. 6.9 2. Таким образом, возможны траектории, на которых имеет место постоянно действующая дилемма и которые не лежат на рассеивающей поверхности.

Оказывается, что для этой задачи в точках, лежащих над кривыми А, решение отсутствует.

Рис. 6.9.2.

При начале игры из любой такой точки может добиться сколь угодно малой платы. Таким образом, кривые А являются сингулярными поверхностями типа

Легко видеть, что траектории, близкие к какой-нибудь траектории К., где имеет место постоянно действующая дилемма, должны иметь то же самое направление, что и К. То есть если К есть рассеивающая поверхность, то исходящие из нее траектории должны иметь с ней общую касательную Этот факт можно было использовать в наших предыдущих примерах для устранения вопроса о постоянно действующей дилемме, ибо в этих примерах траектории были прямолинейными.