9.7. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИГРЫ

Примеры этого параграфа еще не полностью решены. Но они интересны и, может быть, даже важны. Поскольку для их решения даны только некоторые указания, читатель может рассматривать их как проблемы.

Ограниченные игры преследования

В этом разделе точки движутся по плоскости, обладая простым движением. Скорость точки больше (или может быть равна) скорости точки Но (а может быть и может двигаться лишь в подобласти ограниченной одной или несколькими кривыми. Этот класс задач был нам указан Дж. фон Нейманом.

Игры с линией смерти, «крыса, загнанная в угол» и игры, связанные с коридором, — все это частные случаи такой задачи. Можно ли получить решение для других областей?

Предположим, что есть внутренность круга. Если радиус этого круга велик, то естественно предположить, что результат имеет примерно такой вид, как изображено на рис. 9.5.6, когда близок к изогнута вверх). Будут ли заштрихованные области по-прежнему играть роль зоны захвата? Конечно, когда начинает из точки, принадлежащей этим областям, он будет захвачен. А что можно сказать о начальной точке из незаштрихованной области? Если заштрихованная область на рисунке есть единственно возможная область захвата и она меняется непрерывно при движении то поймать нельзя. Иначе наступил бы такой момент, когда должен был бы пересечь границу зоны; но это невозможно в силу полупроницаемости этой границы.

Если является внутренностью многоугольника, то можно было бы применить игру «крыса, загнанная в угол» к тем

положелшям, когда находится вблизи вершины, или игру с линией смерти, когда находится около середины стороны.

Но, пожалуй, не стоит особенно подчеркивать это положение, так как, по-видимому, существуют важные случаи, в которых все является зоной захвата или зоной избежания захвата, и в этих случаях барьеры для исследования не годны.

Связность имеет здесь большое значение (в предположении, - что также не может выйти за границу области так как ясно, что в некоторых случаях никогда не сможет поймать преследуя его по замкнутому кругу.

Воздушный бой

Пусть движутся, например, на плоскости, и кинематика каждого из них такова, что направления движения являются фазовыми координатами (например, случай ограниченной кривизны). Пусть каждый из них имеет свою область захвата, которая находится впереди (по отношению к направлению движения). На рис. 9.1.4 показан типичный случай. Каждый игрок стремится к тому, чтобы противник оказался в его области захвата раньше, чем он сам будет пойман. В качестве примера можно привести воздушный бой между двумя одноместными самолетами; каждый несет одну пушку, огонь из которой он может вести только в направлении своего движения.

Разумеется, игра может оказаться ничейной, если ни один из игроков не сможет заставить противника зайти в свою зону захвата. Для простоты предположим, что эта возможность исключена.

В редуцированном пространстве поверхность будет состоять из двух частей и соответствующих границам двух зон захвата в исходном пространстве. По мере развития игры точка х движется в У, пока в первый раз не проникнет внутрь одной из Исход определяется тем, в какую из них она попадет.

Ясно, какова должна быть техника решения. Для тех положений, когда оба игрока попадают в зону захвата противника, будут пересекаться; существуют положения, когда только один окажется в зоне захвата противника или ни один из них не пойман. Все такие положения нужно считать допустимыми при любой разумной модели реальной ситуации. Пусть пересечение состоит из одной или нескольких кривых. Проведем правильно

ориентированную полупроницаемую поверхность через эти кривые. Она разделит с? на две части, которые являются областями выигрыша для каждого из игроков.

Разумеется, воздушный бой может быть сформулирован и не только как игра качества. Например, исход может считаться выигрышным, только если один из противников остается в зоне захвата другого в течение некоторого обусловленного времени. Можно рассматривать также случай непрерывной платы; за плату можно принять разность между периодами времени, в течение которых один игрок находится в зоне действительного огня оружия другого.

Битвы на истребление

Игроки начинают, имея каждый определенное количество «фишек». Уравнения движения описывают, как изменяется их количество на протяжении игры. Проигрывает тот, кто первый потеряет все «фишки».

Таким образом, эта игра относится к играм качества и начальные положения, в которых побеждает один из игроков, от тех, где побеждает другой, должен отделять барьер. Мы видели, как строится барьер в случае дискретной игры в гл. 3. Применить этот принцип к непрерывной игре нетрудно.