7.11. КРИТЕРИЙ ДЛЯ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ

Хотя этот вопрос не относится к тематике настоящей главы, однако формальный подход к нему связан с ее идеями.

Предположим, что на некотором этапе решения игры такого типа, как в предыдущем параграфе, проинтегрировав уравнения

характеристик, мы обнаружили некоторую поверхность на которой Другими словами, для каждой траектории нашлось бы такое что совокупность всех точек, где это выполняется, и образует поверхность

При каких условиях можно утверждать, что - поверхность переключения, т. е. поверхность, при переходе через которую меняется с одного своего крайнего значения на другое?

Так как мы продолжаем движение вдоль оптимальной траектории, то с помощью тех же рассуждений, что и в предыдущем параграфе, получаем, что

и не зависит от Предположим, что на Поскольку на ней очевидно, что А меняет знак при переходе через Следовательно, в этом случае сохранение знака невозможно, т. е. должна быть поверхностью переключения. Итак, доказана

Теорема 7.11.1. Если в результате интегрирования уравнений характеристик мы нашли поверхность, пересекаемую траекториями, на которой выполняются условия

то такая поверхность есть поверхность переключения.

Этот результат полезен при следующих обстоятельствах. Предположим, что мы исследуем какую-нибудь дифференциальную игру в соответствии с развитыми в этой главе идеями и что нам удалось найти класс поверхностей, на которых

Если затем мы находим поверхность, на которой но которая не принадлежит этому классу, мы сразу можем сказать, что она является поверхностью переключения.