Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯМатериал этого параграфа мы будем использовать лишь в дополнении В классическом вариационном исчислении встречаются задачи, где траектории таковы, что один или несколько из данных интегралов должны иметь некоторое заданное постоянное значение В общем виде это условие выглядит так
интеграл здесь берется вдоль траектории от начальной точки до 5 Мы будем рассматривать задачи с одним только ограниче нием типа (5 7 1), обобщение на большее количество таких ограничений очевидно Введем новую фазовую координату и добавим к уравнениям движения уравнение
Новая терминальная поверхность совпадает с прежней, и для нее Однако более логичным кажется следующий подход. Мы вводили
где
и основным уравнением (4.2.3) дает систему В расширенной системе уравнений движения
Отсюда следует, что вдоль оптимальной траектории X остается постоянным и равным своему значению на Преимущество такого подхода заключается в возможности с его помощью рассматривать задачи несколько иного типа. Часто ограничение (5.7.1) нас интересует лишь как крайний случай; по смыслу задачи должно выполняться условие
На практике это случается, скажем, когда имеется ограниченный запас Встречаются, однако, случаи, когда слишком большой расход запасов, хотя и дозволенный ограничением, нежелателен. В самом деле, с точки зрения минимизирующего игрока
С учетом (5.7.3) и (5 7.4) последнее неравенство означает, что в этой точке
Разумеется, если интеграл должен быть больше или равен С и не может быть меньше, рассматривается ограничение Поясним все это простым наглядным примером Пусть
Тогда основное уравнение (4.2.3) примет вид
где черта над буквой означает, что здесь обычные
Рис. 5.7.1. Рассмотрим теперь другую игру, которая возникает из этой, если мы учитываем ограничение, заданное равенством (5.7.1). К уравнениям движения добавляется
а основное уравнение становится таким:
Заметим, что На рис. 5.7.1,6 изображено пространство
Новое пространство Множество точек В качестве начальных условий теперь используем (5.7.9), значения
и новое основное уравнение (5.7.8) с учетом (5.7 9). Решая с этими начальными условиями систему уравнений характеристик в регрессивной форме, полученную из прежней добавлением уравнений Предположим, мы ищем решение задачи, для которого условие (5.7.1) должно выполняться в начальной точке Если же точка Заметим, что для начальной точки на кривой в Рассмотрим теперь случай, где требуется выполнение условия типа (5.7 5). Будем считать, что в невырожденной игре двух игроков это требование предъявляется лишь к одному из них. В противном случае можно ожидать, что второй игрок нарушит это условие, а тогда для сохранения смысла игры он должен получить некоторую выгоду в плате, это привело бы к существенной переделке первоначальной постановки задачи Очевидно, что такое допущение выполняется во многих практических случаях. Например, если один из игроков управляет движущимся объектом, ограничивающий интеграл может задавать его область движения или запас горючего, расходом которого распоряжается только этот игрок. Для определенности будем считать, что такому ограничению подчинен минимизирующий игрок
Рис. 5.7.2. Обозначим через
поскольку для таких и только для таких точек Это множество ограничено поверхностью Предположим теперь, что в задаче без ограничения игра начинается в точке кривой Тогда проведенная через нее горизонтальная прямая пересекает
оптимальная траектория должна быть такой же, как если бы не было ограничения, так что Если
и тогда наилучшей начальной точкой будет та, у которой Если при рассмотрении игры с ограничением в расширенном фазовом пространстве оказывается, что в некоторой начальной точке то исходящая из нее оптимальная траектория совпадает с оптимальной траекторией в первоначальной игре без ограничения; но если Заметим, что в случае, когда максимизирующий игрок связан интегральным ограничением, это утверждение остается справедливым, если в расширенной системе уравнений движения принять Проблема 6.3.1. Каковы формальные обоснования требования, чтобы интеграл В качестве примера рассмотрим простые классические задачи изопериметрического типа. Это задачи максимизации площади, ограниченной (или частично ограниченной) кривой заданной длины с различными условиями на концах. В каждом учебнике вариационного исчисления приводится задача о максимизации площади, лежащей ниже кривой заданной длины, соединяющей две точки верхней полуплоскости. Пример 5.7.1. Классическая изопериметрическая задача. Чтобы сформулировать и решить задачу в принятых здесь терминах, будем считать, что кривая описывается движущейся точкой, скорость которой по модулю равна единице. Уравнения движения имеют вид
Площадь под этой кривой равна
Поскольку скорость единичная, длина дуги, которую описывает точка, совпадает с величиной времени движения; поэтому в условии (5.7.1) надо взять
Основное уравнение (4.2.1) примет вид
Обозначив
получим
и основное уравнение (4.2.3)
Уравнениями характеристик в регрессивной форме будут тогда
Ясно, что любая траектория, удовлетворяющая этой системе, является дугой некоторой окружности, ибо для
Наконец отметим, что, как следует из уравнений характеристик, х отличается от Чтобы показать, как определяются начальные условия, возьмем в качестве первоначального множества прямую
На ней
В соответствии с вышесказанным ограничимся рассмотрением случая
Тогда, используя основное уравнение (4.2.3), получаем, что
Так как из физического смысла траекторий следует, что
Преобразовав проинтегрированные уравнения характеристик, получаем
Ясно, что найденная кривая является дугой окружности радиуса к с центром на и ординатой Из основного уравнения (4.2.3) с очевидностью следует, что
т. е. мы никогда не теряем площади из-за слишком большой длины. Если Рассмотрим, наконец, предельный случай при
Эти уравнения соответствуют начальным точкам, расстояние которых от Упражнение 5.7.1. Решить классическую изопериметрическую задачу для случая, когда искомая кривая должна соединять две заданные точки в верхней полуплоскости. (Окружить одну из точек, скажем Задача 5 7.1. Сделать из задачи предыдущего упражнения игру двух игроков, заставив второго игрока Трудно извлечь что-нибудь новое из такой хорошо изученной темы, как рассмотренная изопериметрическая задача. Но следующая задача отличается от классических вариантов тем, что содержит меньше условий на концах. Задача 5.7.2 Найти кривую (или кривые), максимизирующую площадь под ней, если выполняется одно из следующих условий: 1) задана только длина кривой 2) задана одна из конечных точек. Проблема
|
1 |
Оглавление
|