8.6. НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ

Пример 8.6.1. Перехват цели, движущейся вдоль прямой. Пусть обладает простым движением, единичной скоростью и перемещается на плоскости; имеет скорость и движется вдоль прямой (скажем, по оси для своей стратегии может выбрать лишь одно из двух направлений движения вдоль этой прямой; захват происходит при

Возможность осуществить захват при очевидна, поэтому нас интересуют условия, которые позволяют добиться успеха менее быстрому преследователю

Идеи этого примера, возможно, не в такой упрощенной формулировке приводят к практически важному вопросу: когда перехватчик может добиться успеха, выступая против превосходящего его в скорости противника, который следует по заданному курсу? Последний может быть баллистической ракетой, не снабженной программой маневрирования, либо самолетом, которому программа не позволяет отклоняться от курса.

Эта задача, как мы вскоре увидим, очень проста. Приведем полное формальное решение ее для нашего случая.

Пусть координаты соответствуют рис. 8.6.1, а. Напишем уравнения движения

где

Тогда основное уравнение (4.2.1) имеет вид

откуда где Теперь занншем основное уравнение (4.2.3)

и уравнения характеристик в регрессивной форме

Захват происходит (см. рис. 8.6.1, б), когда

В редуцированном пространстве поверхность представляет собой полуокружность (рис. 8.6.2). Будем рассматривать лишь

Рис. 8.6.1.

Принимая во внимание вид вектограммы и учитывая, что вектор нормали есть напишем условие, определяющее допустимую область:

или

или, наконец,

Иными словами, определяя из формулы получаем, что допустимой областью в является область (на рисунке эта дуга выделена жирной линией), а граница допустимой области задается уравнением

Рис. 8.6.2.

Следовательно, начальные условия имеют вид

Интегрирование уравнений характеристик дает уравнения траекторий

угол наклона равен

так как Следовательно, барьеры касаются поверхности в точках части их, лежащие за точкой пересечения, мы отбрасываем (если В результате мы получили область захвата; на рис. 8.6.2 она заштрихована.

Можно сократить эти формальные выкладки. Заметив, что не входят в правые части уравнений движения, заключаем, что и что барьеры должны быть прямыми линиями. Следовательно, зная допустимую область, можно сразу нарисовать подходящим образом направленные касательные, исходящие из ее краевых точек.

Заметим, что если то барьеры не пересекаются. В этом Случае областью захвата служит полоса

Барьеры представляют собой прямые и являются статичными.

Задача 8.6.1. Получить эти результаты геометрическим методом для случая

Задача 8.6.2. Объяснить физический смысл результата для случая

Для того чтобы с этой точки зрения исследовать упоминавшуюся задачу перехвата, нужно лишить возможности выбирать направление. Тогда остается всего лишь единственный барьер (см. рис. 8.6.3).

Рис. 8.6.3.

Пример 8.6.2. Игра преследования с одним шансом (Дрешер).

Рассмотрим снова пример 6.6.1, несколько обобщив его, а именно допустив, что скорости противников произвольны. Вектограммы изображены на рис. 8.6.4,а, х и у — составляющие вектора уравнения движения имеют вид

Захват, как обычно, означает В редуцированном пространстве поверхность имеет такую же параметризацию, как на рис. 8.6.2, с той лишь разницей, что теперь есть вся окружность. Допустимая область определяется условием

где Тогда критический угол соответствующий границе допустимой области, удовлетворяет условию

Мы сокращаем дальнейшие формальные выкладки, рассуждая аналогично тому, как это делалось в предыдущем примере: правые части уравнений движения не зависят от х и у, а это ведет к прямолинейным барьерам. Они изображены на рис. 8.6.4, б.

Рис. 8.6.4.

Для случая , рассмотренного в примере 6.6.1, барьеры вертикальны и параллельны.

Пример 8.6.3. Обобщенная задача. Используем уравнения движения упражнения 8.3.1, где область, для которой а — плоскость Допустимая область задается условием

или Тогда границей допустимой области служит ось играющая роль Мы приведем полученное в § 8.2 решение:

Отметим, что при для малых положительных и эти траектории не могут образовывать часть барьера. Тогда мы предположим, что

При траектория, соответствующая возвращается к и встречается с этой плоскостью на кривой

Взяв какие-нибудь значения покажем, что существуют единственные где гакие, что два последние уравнения из (8.6.1) удовлетворяются. Тогда барьер встречается только один раз с каждой прямой в У, параллельной оси следовательно, разделяет с? на две части.

Доказательство получается средствами элементарной алгебры. Решая два последние уравнения из (8.6.1) относительно получаем для последнего

Выбираем знак плюс, соответствующий положительному значению Тогда

Из

следует, что

Пример 8.6.4. Долихобрахистохрона. Мы знаем из примера 5.2, что для начальных точек, лежащих в нижней части плоскости игрок может предотвратить окончание вопреки любым усилиям игрока Тогда прямая будет барьером. Как и естественный барьер, она является полупроницаемой поверхностью, проходящей через границу допустимой области, но она не касается Это исключение объясняется тем, что барьер статический.

Рис. 8.6.5.

Упражнение 8.6.1. Доказать, что прямая действительно является полупроницаемой, статической и правильно ориентированной.

Задача 8.6.3. Показать, что над этой прямой не существует полупроницаемых поверхностей. Показать, что в области под ней через каждую точку проходят две такие поверхности. Проще это сделать геометрически, как предлагается на рис. 8.6.5.

Наконец выяснить, почему в точках соединения поверхности переключения и границы допустимой области нарушается касание и

Задача 8.6.4. Дама в озере. Предположим, что в примере 6.10.2 отношение скорости движения к скорости движения настолько велико, что не достигнет успеха, если будет как обычно начинать игру из центра. В то же время очевидно, что если дама плавает близко к берегу, а джентльмен находится достаточно далеко от нее, то она всегда сможет от него убежать. Выбрать подходящее редуцированное пространство и найти в нем барьер, разделяющий эти крайние положения.