6.8. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ; ФУТБОЛИСТЫ И КАТЕРА-ПЕРЕХВАТЧИКИ

Пример 6.8.1. Футболисты. Пусть вертикальные прямые на рис. 6.8.1 изображают боковые линии футбольного поля. Мяч находится у нападающего который стремится продвинуться как можно дальше вверх, возможно ближе к линии ворот. Ему противостоит один защитник Оба игрока перемещаются простым движением и имеют одинаковые скорости. Будем считать, что совпадение точек означает перехват мяча.

Эта задача может быть решена с помощью того же способа, который был применен к примеру 1.9.2. Нарисуем перпендикуляр, проходящий через середину отрезка легко видеть, что этот перпендикуляр есть граница зоны безопасности для нашего примера; найдем самую верхнюю его точку лежащую на футбольном поле. Оба игрока должны двигаться по направлению к точке которая, вообще говоря, должна быть точкой боковой линии.

Рис. 6.8.1.

Постоянно действующая дилемма возникает в случае, если отрезок вертикален. Тогда перпендикуляр к нему параллелен линии ворот, и все его точки с одинаковым основанием могут быть точками перехвата мяча. Здесь каждый из игроков имеет уже не два, а континуум одинаково хороших выборов.

Возникает искушение в качестве решения предложить следующий вариант: должен двигаться так, чтобы точка все время оставалась зеркальным отражением точки относительно перпендикуляра, проходящего через середину отрезка Но такое поведение не может быть стратегией, так как в этом случае должен был бы выбирать направление движения, исходя из направления движения т. е. исходя из значения управления. В начале книги мы уже обсуждали причины, побуждающие нас отклонить такой вариант решения.

Как и раньше, изменим условие задачи, считая круг радиуса I с центром в точке областью захвата. Как было установлено в предыдущем параграфе, перпендикуляр должен быть заменен дугой гиперболы. Если теперь отрезок вертикален, неопределенность исчезает; оба должны двигаться прямо вперед.

Отметим, насколько упростилась задача. Мы сразу перешли от случая с бесконечным числом возможных выборов к случаю, не допускающему неопределенности. Здесь даже не требуется применения мгновенной смешанной стратегии.

Рис. 6.8.2.

Рис. 6.8.3.

Если находится снизу от внутри вертикальной проекции области захвата, из соображений геометрического характера следует, что боковые линии в основном не влияют на решение. Ибо в этом случае, как видно из результата (6.7.4), две асимптоты наклонены вниз, они исходят из середины отрезка по направлению к боковой линии. Если боковые линии находятся на значительном расстоянии от ветвь гиперболы имеет такой же наклон, и ее высшая точка должна находиться внутри футбольного поля.

Формальное исследование, которое будет приведено ниже, совпадает с этим утверждением. Оно приводит к очень простому решению, свободному от каких-либо ссылок на алгебраические кривые, каковыми являются границы зоны безопасности. При этом мы не будем учитывать боковые линии; а чтобы задача не потеряла общность, для измененной таким образом игры введем новое название.

Пример 6.8.2. Простейшая игра блокирования. Из рис. 6.8.3 ясно, как выбираются фазовые координаты и управления;

скорости единичные, и уравнения движения имеют вид

Плата является терминальной, Напишем основное уравнение (4.2.1)

обозначив

получаем

Теперь запишем основное уравнение (4.2.3)

Для мы имеем

где есть угол между и вертикалью. Так как на то

Тогда

Если т. е. захват происходит, когда находится в нижней точке поверхности то поскольку с возрастанием (при фиксированных также возрастает. Следовательно, Из основного уравнения (4.2.3) получаем

откуда

Теперь можно определить оптимальные стратегии и получить полную картину развития игры, не прибегая к интегрированию. Имеем

откуда и оптимальные траектории должны выглядеть так, как изображено на рис. 6.8.4. Из равенства скоростей, означающего, что и из равенства углов следует, что отрезок вертикален. Таким образом, оптимальные стратегии находим с помощью следующего простого построения.

Рис. 6.8.4.

Рис. 6.8.5.

Из проводим вертикальную линию, пересекающую в точке (нижняя точка пересечения). Проведем отрезок и продолжим его до точки пересечения его с перпендикуляром, проведенным через середину отрезка Оба игрока движутся по направлению к

Если находится вне вертикальной проекции поверхности то из второго замечания (6.7.4) о наклоне асимптот гиперболы следует, что, направляясь в достаточно удаленную точку на этой кривой, он мог бы достичь сколь угодно большой платы. Таким образом, в этом случае решения не существует.

Легко видеть, что полученный результат согласуется с решением, полученным геометрическим способом. Во-первых, лежит на гиперболе, что вытекает из определения ее как соответствующего геометрического места точек Далее, горизонтальность касательной в точке следует из хорошо известного

свойства отражения в гиперболическом зеркале светового луча, исходящего из фокуса: направление отраженного луча совпадает с направлением луча, исходящего из другого фокуса.

Упражнение 6.8.1. Найти цену игры в задаче, составленной из комбинации примеров 6.8.1 и 6.8.2, а именно рассмотреть случай, когда футбольное поле имеет боковые линии, а областью захвата является коуг определенного радиуса. Как и раньше, оба обладают простым движением и одинаковыми скоростями. Искомая цена игры есть расстояние до линии ворот, которого может достичь при оптимальных действиях обоих игроков.

Пример 6.8.3. Два катера и корабль. Имеется два катера которые гонятся за кораблем Все они обладают простым движением, скорость каждого катера больше скорости

Платой является время захвата, под которым понимается совпадение или

Геометрическое решение получаем следующим образом. Нарисуем две окружности Апполония (одну для и и другую для и Пересечение соответствующих им кругов (эта область на рис. 6.8 5 заштрихована) является областью, в которой спасается от обоих преследователей; он направляется в наиболее удаленную точку этой области; делают то же самое.

Земба получил строгое доказательство (используя идеи, совершенно отличные от наших) того, что это решение является корректным.

Постоянно действующая дилемма возникает, когда и лежат на прямой, причем расположен между Тогда существуют две точки одинаково удаленные от К какой из них должны направляться все три точки? Если все они все время выбирают одно и то же направление, то они будут двигаться, оставаясь расположенными на прямой, и тогда в соответствии с замечанием (6.7.2) точка остается неизменной. Мы получаем оптимальную партию при наличии постоянно действующей дитеммы.

Найденное Зембой решение таково, что преследователи действуют, исходя из скорости и положения катеров, аналогично тому как это имеет место в предыдущем примере, когда игроки придерживаются политики «зеркального отражения», и поэтому оно вызывает те же самые возражения.

Пусть теперь каждый преследователь снова имеет положительный радиус захвата. Ясно, что с началом погони коллинеарность сразу нарушается и дилемма превращается в мгновенную смешанную стратегию.

Земба указывает, что случай симметрии, когда скорости преследователей одинаковы, а лежит в середине между ними, эквивалентен игре преследования в полуплоскости (пример 6.4.1). В самом деле, если в таком случае поместить второго преследователя в точку, которая является зеркальным отражением первого относительно стены, то это ограничение (стену) можно убрать, так как симметричное расположение преследователей вынуждает следовать по своему прежнему маршруту. Так что по крайней мере в этом частном случае игра двух катеров проанализирована до конца.