Дополнение

Это дополнение, за исключением первой главы, составлено из новых различных примеров дифференциальных игр. Намечены пути решения и даны указания в случае появления особенностей или формальных трудностей.

А.1. ПЛАТА-ВЕРОЯТНОСТЬ ПОРАЖЕНИЯ

В некоторых военных играх, таких, как приведенные в § А.2 и А.5, один игрок, например непрерывно стреляет по своему противнику. Плата есть общая вероятность поражения.

Плотность вероятности поражения предполагается заданной: есть функция от фазовых координат (а возможно, также и от управлений). Тем самым по мере развития некоторой партии становится функцией времени и вероятность поражения на интервале равна

Лемма А.1. В рассматриваемом случае игра имеет интегральную плату и можно принять

Доказательство. Пусть есть вероятность того, что цель не была поражена на протяжении интервала времени

Вероятность того, что цель не будет поражена на интервале есть произведение вероятностей того, что она уцелеет на интервале и на интервале Итак, если мало, то

или

что дает в пределе

Поскольку мы имеем

Итак, вероятность поражения на интервале времени равна а эта функция растет с ростом интеграла. Следовательно, стратегия, которая максимизирует интеграл, максимизирует также и вероятность поражения.

Заметим, что формальная цена игры получаемая при решении, не является вероятностью поражения. Действительная, цена игры равна

Будем представлять себе непрерывный огонь как последовательность коротких выстрелов (что согласуется с действительностью). Нетрудно показать, что в двумерном пространстве при достаточно больших расстояниях от оружия до цели вероятность поражения одним выстрелом обратно пропорциональна Поэтому можно положить где а — некоторая константа. В трехмерном пространстве соответственно (двумерный случай использован в двух последующих задачах лишь в связи с формальными математическими трудностями).