7.7. ТОЧКА ЗРЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Универсальность рассматриваемых поверхностей становится более ясной, когда выявляется их связь с уравнением Эйлера. Мы проанализируем этот вопрос в трехмерном случае, а обобщение сделаем потом, после необходимых дополнительных исследований.
Рассмотрим игру на плоскости с интегральной платой, причем 
линейно зависит от 
Пусть уравнения движения имеют вид
(
являются функциями лишь от х, у), и пусть
Как упоминалось раньше (§ 5.3), такую задачу можно решать методами вариационного исчисления. В самом деле, разрешив уравнение
относительно 
подставим результат в
Мы свели задачу к классической задаче минимизации интеграла типа
Уравнение Эйлера для этого примера имеет нулевой порядок, 
не является дифференциальным уравнением; оно совпадает
с условием (7.5.1), которое должно выполняться на универсальной поверхности.
Упражнение 7.7.1. Провести подробные выкладки и написать явный вид функции 
в (7.7.3). Показать, что классическое уравнение Эйлера
здесь имеет вид
и что это уравнение эквивалентно (7.5.1), если 
не зависят от 
Теперь ясна роль нашего аналитического условия для универсальной поверхности.
Рис. 7.7.1.
Оно относится к типу «необходимых и достаточных условий», которым уделено так много места в учебниках по вариационному исчислению. Мы еще вернемся к этому вопросу в § 7.12.
Чтобы пояснить, каким образом условие (7.5.1) может облегчить решение задач вариационного исчисления, рассмотрим
Пример 7.7.1. Вывод автомобиля на стоянку. Автомобиль передвигается так же, как в примере 7.5.2. Он расположен на большой пустой площади, место стоянки — прямая 
(см. рис. 7.7.1), Автомобиль должен приблизиться к ней под заданным углом 
причем сделать это за кратчайшее время.
Можно с уверенностью сказать, что если начальное расстояние от 
велико, большая часть оптимального пути будет прямолинейной. Новое по сравнению с примером 7.5.2 здесь заключается в том, что в конце требуется так же, как и в начале, совершить поворот и подойти к стоянке под заданным углом 
Ограничимся пока лишь следующим вопросом: должна ли оптимальная траектория быть перпендикулярной к 
или, предупреждая финальный разворот, должна иметь наклон, близкий к 
(как траектория, изображенная на рис. 7.7.1 пунктиром)?
Примем 
за координаты редуцированного пространства, как показано на рисунке. Уравнения движения будут тогда иметь вид
и так как 
то к ним добавится еще
Значения 
выпишем в таблицу
(см. скан)
Тогда из условия (7.5.1) следует, что
Таким образом, подозрительной кривой будет любая горизонтальная линия, и, значит, оптимальная траектория, если не считать начального и конечного поворотов, должна быть прямой, перпендикулярной к 
