4.8. ТЕОРЕМА О ПОСТРОЕНИИ

Цель ее состоит в том, чтобы показать, что при интегрировании уравнений характеристик в регрессивной форме с подходящим выбором граничных условий мы действительно получаем значение V, удовлетворяющее основному уравнению (4.2.3). Итак, эта теорема является в некотором смысле обратной по отношению к нашим предыдущим результатам. Доказательство строится по образцу доказательства Куранта — Гильберта [6] для аналогичной теоремы, относящейся к общей теории дифференциальных уравнений в частных производных.

В этом параграфе будут несколько изменены наши обычные обозначения: мы будем использовать как символ так и Первый будет относиться к множеству функций, полученных с помощью формального интегрирования, и мы докажем, что эти функции — не что иное, как частные производные от У.

Будем считать, что исходная игра имеет терминальную плату; мы знаем, что общность при этом не теряется.

Пусть -область n-мерного евклидова пространства, частью границы которой является поверхность заданная уравнениями

где, как всегда, Функции гладкие, и ранг матрицы равен

В области задано дифференциальное уравнение в частных производных относительно неизвестной функции V

где есть конечное множество таких функций что для каждого и мы имеем или То же замечание относится и к Граничное условие для V состоит в том, что на

где заданная гладкая функция.

Рассмотрим систему обыкновенные дифференциальных уравнений

с начальными условиями на при

где последняя система функций удовлетворяет соотношениям

Здесь под понимается

Пусть интегралы этой системы дифференциальных уравнений с данными начальными условиями имеют вид

и траектории (4.8.10) заполняют а их якобиан в этой области не равен нулю:

Тогда в области можно разрешить (4.8.10) относительно переменных Подставив полученные выражения для в функцию мы получим функцию от которую обозначим

Теорема 4.8.1. Функция V, определяемая формулой (4.8.12), удовлетворяет дифференциальному уравнению (4.8.2) в области и граничному условию (4.8.3) на поверхности Кроме того, в области функции 1 заданные формулой (4.8.11), после подстановки в них выражений для как функций от х удовлетворяют соотношению

Доказательство. Если за координаты в принять то мы будем иметь Следовательно, С другой стороны, используя (4.8.4), получаем

Так что V удовлетворяет уравнению (4.8.2).

Граничное условие (4.8.3) немедленно следует из (4 8.12). Остается доказать (4.8.13), Положим

Имеем

где в силу формулы (4.8.5) первая сумма равна

а подстановка (4.8.4) во вторую сумму дает

Далее,

где выражение, стоящее в скобках, есть полная производная от по причем нужно учесть, что входит во все ее аргументов; многоточие выражает точно такие же члены для Если то выражение, стоящее в квадратных скобках, обращается в нуль. Если же нет, то в выражении для коэффициент при квадратных скобках для такого и есть

Следовательно, квадратные скобки вносят нулевой вклад в общую сумму; то же верно относительно пропущенных членов, содержащих Это означает, что вторая сумма равна

т. е. первой сумме, взятой с противоположным знаком. Следовательно,

Но по формуле на и, значит, во всей области

Подобным же образом получаем

Выражение, стоящее в скобках, равно нулю, что нетрудно показать способом, аналогичным предыдущему аргументы не играют в конечном итоге никакой роли.

В силу формулы на и, следовательно,

Формулы (4 8 14) и (4 8 15) означают, что V, в области № удовлетворяют соотношениям

Но величины также должны удовлетворять той же системе линейных уравнений Следовательно, поскольку детерминант этой системы не равен нулю, она должна иметь единственное решение, поэтому

Ответы

(см. скан)

(см. скан)