1.10. ВОЗМОЖНОСТИ ДЛЯ УТОЧНЕНИЯ

Несмотря на то что это может шокировать некоторых математиков, а другим, возможно, покажется ересью, настоящая книга не содержит теорем существования. В самом деле, теоремы и леммы появляются на этих страницах с более низкой плотностью, чем общепринято Небольшой экскурс в историю развития теории игр объяснит, почему это так.

Вначале нас интересовали методы работы с большим классом задач, которые должны были бы удовлетворять двум требованиям: иметь некоторое сходство с действительностью и быть разрешимыми. Тем самым нашей целью было не обоснование теорем, а получение ответов.

Отыскание сходства с реальностью не всегда преследует строго утилитарные цели Сами идеи, постепенно проявляясь, предписывали направление дальнейших изысканий. Игра «шо-фер-убийца» в этом смысле типична. Едва ли можно назвать эту задачу математической и указать в точности ее конкретные приложения. Все же очевидно, что если мы хотим исследовать вопросы преследования и уклонения с учетом сколько-нибудь реальных кинематических условий, то ограничение радиуса кривизны траектории оказывается неизбежным. Сперва был рассмотрен случай, когда такому ограничению подчинен один из игроков; такова задача «шофер-убийца». Это рассмотрение указывало путь подхода к задаче о двух движущихся объектах с ограничением на кривизну траекторий (§ 9.2), и хотя появившиеся в связи с таким нововведением трудности в принципе преодолимы, однако они влекут за собой вычисления, которые нелегко выполнить элементарными средствами. Несмотря на то что подобные задачи, так же как задача об избежании столкновения движущихся объектов, нужны для некоторых приложений, недостаток места заставил нас не включать их в эту книгу.

Но давайте посмотрим, что произошло, когда задачи такого рода стали исследоваться лишь с целью получения ответа. Первое, что удалось сделать в этом направлении, — это создать стандартную схему решения, аналогичную методам дифференциальных уравнений и изложенную в гл, 4 Были, разумеется, и

такие этапы, когда приходилось руководствоваться дискретными моделями (см. гл. 3).

Но вскоре стало очевидно, что во многих случаях одних лишь методов дифференциальных уравнений совершенно недостаточно. Различные случаи особого, или сингулярного, поведения решения часто оказывались преобладающе важными. В пространстве игры с? такие явления имеют место, как правило, на поверхностях. Под «поверхностью» здесь, как и в будущем, понимается -мерное многообразие в n-мерном пространстве. Наряду с сингулярными поверхностями встречаются многообразия меньших размерностей, но здесь они большей частью не учитывались ввиду того, что при этом появляются ограничения для наших методов, а также потому, что поверхности наиболее интересны, ибо они обычно разделяют на отдельные области.

С увеличением числа рассматриваемых задач быстро возрастало количество различных типов сингулярных поверхностей, и каждый тип, казалось, нужно было исследовать отдельно. Классификационная схема приведена в гл. 6, но она представляет собой скорее каталог возможных типов, чем последовательный теоретический анализ.

Вначале пришлось столкнуться с так называемыми барьерами и универсальными поверхностями затем были изучены другие типы. Поскольку теория каждого типа сингулярных поверхностей имеет свою специфику и отличается от других, исследованию их будет уделено много места в последующих главах. Иногда казалось, что уже исчерпаны все типы, важные для практических целей; но последующие задачи влекли за собой появление новых. Сейчас трудно сказать, насколько обширно то многообразие типов сингулярных поверхностей, которое еще подлежит исследованию.

Итак, общий вид типичного решения дифференциальной игры следующий: пространство игры с? разделено некоторым числом сингулярных поверхностей на составляющие области. Внутри каждой области решение может не существовать вовсе, но если оно существует, то удовлетворяет определенным дифференциальным уравнениям с граничными условиями, выполняющимися на сингулярных поверхностях. Оптимальные траектории — пути изображающей точки при оптимальной игре обеих сторон, — если они в разумном смысле единственны, могут иметь острые углы, только если они пересекают сингулярные поверхности. Кроме того, может случиться, что некоторые области содержат сингулярные многообразия меньшей размерности, чем поверхности, или такие многообразия могут лежать на самих сингулярных поверхностях.

В связи с наличием столь большого скопления особенностей трудно представить себе, что здесь могла бы иметь место теорема существования, охватывающая все возможные случаи. Ее можно было бы сформулировать лишь при столь большом числе допущений и ограничений, что они полностью лишили бы ее практической ценности.

Таким образом, мы освободились от обязанности построить такую теорему, попытавшись вместо этого развить другие идеи, более отвечающие, по нашему мнению, требованиям настоящей теории.

Дальнейшие главы содержат вполне законченную методику для получения зависимостей, которые пока мы будем называть формальным решением. На большом количестве примеров мы продемонстрируем этот процесс в действии. Таким образом, перед нами встает задача показать, что формальное решение в некотором разумном смысле является действительным решением.

Для этого требуется, во-первых, достаточно точное определение решения в этом «разумном смысле» и, во-вторых, метод, с помощью которого можно было бы показать, что формальное решение совпадает с ним. Первое достигается с помощью понятия -стратегии, введенного в гл. 2; второе — с помощью теоремы 4.4.1. Правильное применение этой теоремы позволяет показать, что для некоторых конкретных примеров, когда найдено формальное решение, его можно превратить в основную составную часть К-стратегического решения.

Такой подход, не будучи ортодоксальным, оказывается вполне приемлемым для настоящей теории. Конечно, мы не можем и не будем предъявлять каких-либо универсальных требований существования решений дифференциальных игр. В черновых набросках этой книги отдельные главы содержали примеры, где решение не существует; но патологичность этих случаев говорит в пользу того, что болынинаво интересных игр в действительности может быть решено. А это и является нашей целью.