7.4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОГРАММ

Рассмотрим игру с одним управлением (и, следовательно, одним игроком). В соответствии с теоремой 2.4.1 мы можем считать, что плата терминальная. В начале предыдущего параграфа было установлено, что если такая игра имеет универсальную поверхность, то размерность пространства должна быть не меньше трех.

Пусть уравнения движения имеют вид

где заданные функции от в дальнейшем всюду, где это будет нужно, мы будем считать их гладкими функциями. За ограничения всегда можно принять

выбирая в качестве вектор, проведенный к центру базовой линии, а в качестве а вектор, проведенный от этого центра до одного из концов Векторы мы всегда будем предполагать линейно независимыми.

Допустим, что для некоторой определенной игры, содержащей универсальную поверхность, мы нашли которая является гладкой на универсальной поверхности и удовлетворяет основному уравнению. Обозначив получаем

всюду, где Аналогично положим Так как движению по универсальной поверхности соответствует промежуточное значение (обозначим его то на универсальной поверхности должно быть

А так как здесь основное уравнение имеет вид то на универсальной поверхности также должно быть и

Теперь интегрируя уравнения характеристик в регрессивной форме с использованием в качестве начальных условий универсальной поверхности и значений на ней, получаем входящие в нее траектории. Поскольку должны быть два различных семейства таких траекторий, соответствующих двум сторонам универсальной поверхности, ясно, что с одной стороны ее а с другой Тогда из (7.4.3) следует, что на разных сторонах универсальной поверхности А имеет разные знаки.

Для входящих в универсальную поверхность траекторий получаем следующие уравнения характеристик:

где означает

Посмотрим теперь, как меняется А, если переместиться с универсальной поверхности в какую-нибудь сторону от нее. Имеем

(здесь мы использовали равенство Переставляя индексы суммирования в последней скобке, получаем

Но это выражение не зависит от а, следовательно, на обеих сторонах универсальной поверхности А имеет одно и то же значение. Тогда В самом деле, предположим, что, например, Так как на универсальной поверхности то на достаточно малом от нее расстоянии должно быть положительным на обеих сторонах поверхности.

Обозначив

запишем найденное условие в виде Итак, доказана

Теорема 7.4.1. Если в игре с одним управлением терминальной платой и уравнениями движения является гладкой функцией на универсальной поверхности и в ее окрестности, то на универсальной поверхности

Мы знаем, что с точки зрения полупроницаемых поверхностей можно рассматривать как компоненты вектора нормали Тогда геометрически теорема 7.4.1 означает, что, если некая область в заполнена семейством полупроницаемых поверхностей, движение в ней происходит в соответствии с оптимальным значением (которое предупреждает пересечение поверхности), и если эта область содержит универсальную поверхность, то в точках последней нормаль к каждой полупроницаемой поверхности должна удовлетворять условиям

Теорема 7.4.2. В случае линейной вектограммы функции вдоль универсальной поверхности непрерывны.

Доказательство. Выберем координаты так, чтобы универсальная поверхность лежала в плоскости Будем считать, что универсальная поверхность такова, что соответствующие ее точкам вектограммы не лежат целиком в этой плоскости; в наших координатах это означает, что одновременно не обращаются в нуль.

Поскольку универсальная поверхность состоит из некоторого семейства оптимальных траекторий, V на ней известна. Дифференцированием можно найти Наконец, определяем из уравнения либо так как по крайней мере в одном из них коэффициент при не обращается в нуль.

Теперь, принимая равным ±1, можно проинтегрировать уравнения характеристик в регрессивной форме, используя начальные условия на универсальной поверхности, на которой мы уже знаем значения В результате получаем V и в некоторой малой окрестности универсальной поверхности. Из

теоремы 4.8.1 следует, что полученные будут соответствующими частными производными от будет ценой игры.

Тогда, как и утверждалось, функции V непрерывны вдоль универсальной поверхности, потому что с обеих ее сторон они достигают одного и того же начального значения.

Проблема 7.4.1. Исследовать непрерывность вторых частных производных вдоль универсальной поверхности.

Предположим, что существуют универсальные поверхности, касающиеся плоскости вектограмм. Назовем их универсальными поверхностями с касательным подходом. (Можно выделить еще более крайний случай, когда притоки касаются оптимальных траекторий, лежащих в универсальной поверхности.)

Очевидно, что к таким универсальным поверхностям неприменимо доказательство теоремы на них не обязаны быть непрерывными.

Мы не будем рассматривать такие универсальные поверхности: мы всегда будем предполагать, что притоки (как это и случается во всех рассмотренных нами примерах) не касаются универсальной поверхности.

Проблема 7.4.2. Существуют ли универсальные поверхности с касательным подходом? Если да, то какова их теория?

Непрерывность функций V на универсальной поверхности оказывается полезной в двух отношениях. Во-первых, на универсальной поверхности всюду удовлетворяется основное уравнение. Таким образом, можно применить теорему 4.4.1 и быть столь же уверенным в правильности решения, как в случае отсутствия сингулярных поверхностей.

Во-вторых, мы теперь можем высказать некоторые соображения относительно других управлений, отличных от Мы считали при рассмотрении -универсальной поверхности, что можем предположить другие управления всюду выбранными оптимально, т. е. удовлетворяющими основному уравнению. Эти управления будут в основном простыми функциями от Непрерывность по У, дает нам некоторую уверенность в том, что они будут непрерывны на -универсальной поверхности.

Условия (7.4.9) необходимы, но, как мы увидим далее, не достаточны. Поэтому мы введем новое понятие — «подозрительная» универсальная поверхность. Так будет называться гладкая поверхность, которая

удовлетворяет соотношениям (7.4.9) [или (7.4.8)] и

представляет собой объединение множества траекторий, удовлетворяющих уравнениям