12.6. МЕТОД ПРЕДПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Название, которым мы окрестили эту технику решения некоторых игр, звучит довольно неуклюже. Возможно, что это же прилагательное подходит и к самому методу, но для решения некоторых видов задач мы не можем предположить ничего другого.

Предположим, что игра двух игроков с нулевой суммой и с неполной информацией имеет «устойчивый», или «стационарный» характер. Определение этого понятия проще всего дать для дискретной модели. Игра называется стационарной, если характер решения циклически повторяется и на каждом цикле партия либо заканчивается, либо ситуация, за исключением принятых при этом решений, совпадает с ситуацией на предшествующих циклах. Это означает, что зритель, который начал наблюдать за партией в середине игры, не может сказать, сколько времени игра длилась до него.

Пусть минимизирующий игрок — ходит первым. Если это необходимо, можно искусственным образом присоединить

«прошлое», чтобы возникающее положение не отличалось от того, которое возникает в середине игры. Изменим правила так, чтобы первый ход делался не по решению а в силу обусловленных вероятностей совокупность которых мы обозначим через х. То есть первое движение теперь является случайным. Цена этой новой игры зависит от х и будет обозначаться через

Применяя правила первого полного цикла ходов, часто можно получить функциональное уравнение, которому должна удовлетворять Если решение этого уравнения единственно, то функция будет найдена. Ценой исходной игры будет

поскольку единственным отличием исходной игры от этой служит то, что может сам выбрать значения х, и он будет пытаться при этом минимизировать плату.

Пример 12.6.1. Простая игра «прицеливание и увертывание». Эта игра является простейшей из нетривиальных дискретных моделей примера 12.2.3. Пусть имеется бесконечный в обе стороны ряд точек. В одной из точек этого ряда стоит фишка. В каждый из своих ходов имеет выбор между движениями фишки вправо или влево в соседние точки. Его ход чередуется с ходом который. в свою очередь имеет выбор между ожиданием — отсутствием хода — и «стрельбой». Если выбирает последнее, то он должен выбрать точку, в которую стреляет. Тогда игра заканчивается; если фишка окажется в указанной точке, то побеждает в противном случае побеждает

Основой здесь является неполная информация, обусловленная запаздыванием во времени. Непосредственно перед своим ходом знает все ходы за исключением двух последних. Следовательно, в момент выстрела знает, что либо фишка находится на том месте, где он видел ее в последний раз ( двинул фишку вправо-влево или влево-вправо), или она на две точки правее либо на две точки левее. Поэтому разумно стрелять лишь по этим трем точкам. Если используют смешанные стратегии, что мы, конечно, и предположим, то платой будет вероятность того, что попадет, т. е. правильно угадает положение фишки.

Применим для наш метод предположительных вероятностей. Предположим, что он имеет первый ход. Пусть перед этим перешел в данную точку слева. Заменим движение случайным, а именно движением влево с вероятностью х и движением вправо с вероятностью -Цену, минимакс вероятности поражения, обозначаем через Она определяется выражением

Здесь максимум относится к четырем строчкам в правой части, а минимум по переменным ищется в области

Чтобы установить справедливость выражения (12.6.1), по крайней мере эвристически, предположим сначала, что продолжает свое движение следующим образом: если фишка сдвинулась влево (с вероятностью то последующее его движение влево имеет вероятность с, а вправо

Рис. 12.6.1.

Точно так же, если случайное движение было вправо, то последующее движение вправо имеет вероятность Величины являются частью оптимальной стратегии игрока и будут в дальнейшем фиксированы.

Четыре строки после фигурной скобки в (12.6.1) соответствуют четырем возможным ответам игрока Если он стреляет в самую левую точку — два шага влево от последней наблюдаемой позиции, — то он попадает лишь в том случае, когда фишка оказывается в этой точке, что требует двух левых движений, а вероятность этого и, следовательно, вероятность поражения есть Аналогично следующая строка есть вероятность

того, что фишка останется в центральной точке, имея в качестве предшествовавших движений движения влево-вправо или вправо-влево. Итак, вероятность поражения, если стреляет по центральной точке, равна второй строке после скобки. Третья строка соответствует стрельбе по крайней правой точке.

Наконец, последняя строка есть плата в случае, когда ждет. Если фишка сдвинулась влево с вероятностью х, мы оказываемся перед повторением исходной ситуации и начинаем нашу игру с предположительными вероятностями, в которой на месте должно стоять с. Цена ее равна Аналогично с вероятностью сталкивается с игрой, цена которой равна таким образом четвертая строка равна математическому ожиданию поражения в случае, когда ждет.

Теперь при любых заданных значениях выбирает максимум из этих четырех величин. Тогда, чтобы играть оптимально, надо выбрать так, чтобы минимизировать этот максимум. Результат дает цену игры, т. е.

График функции получаемой в результате решения уравнения (12.6.1), приведен на рис. 12.6.1. На центральном интервале функция постоянна, зато на обоих крайних интервалах ее график состоит из бесконечно большого числа прямолинейных отрезков, концы которых имеют своими предельными точками

Мы решили несколько подобных задач, и результирующая функция была столь же сложной. Найти ее было очень трудно. А ведь все, что нам от нее нужно для решения исходной задачи, — это ее минимум!

Но нет ли здесь намека на возможность построения приближенного решения? Ломаные в графике на рис. 12.6.1 поражают своей близостью к гладкой кривой. Существует ли такой приближенный метод, включающий в себя аналог функции в котором эта функция окажется более простой?

Рассмотренная игра принадлежит к тому типу игр, где применимы доводы за построение приближенного решения, приведенные в пунктах I и 2 § 12.5. Следовательно, в силу этих пунктов и в силу существования многих других более реалистичных примеров той же природы, которые имеют большую практическую ценность, разумно выбранное приближенное решение может оказаться достаточным и имеющим большое значение.

Дальнейшие детали, касающиеся этой игры, приведены в работах [13].