Главная > Дифференциальные игры
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

12.6. МЕТОД ПРЕДПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Название, которым мы окрестили эту технику решения некоторых игр, звучит довольно неуклюже. Возможно, что это же прилагательное подходит и к самому методу, но для решения некоторых видов задач мы не можем предположить ничего другого.

Предположим, что игра двух игроков с нулевой суммой и с неполной информацией имеет «устойчивый», или «стационарный» характер. Определение этого понятия проще всего дать для дискретной модели. Игра называется стационарной, если характер решения циклически повторяется и на каждом цикле партия либо заканчивается, либо ситуация, за исключением принятых при этом решений, совпадает с ситуацией на предшествующих циклах. Это означает, что зритель, который начал наблюдать за партией в середине игры, не может сказать, сколько времени игра длилась до него.

Пусть минимизирующий игрок — ходит первым. Если это необходимо, можно искусственным образом присоединить

«прошлое», чтобы возникающее положение не отличалось от того, которое возникает в середине игры. Изменим правила так, чтобы первый ход делался не по решению а в силу обусловленных вероятностей совокупность которых мы обозначим через х. То есть первое движение теперь является случайным. Цена этой новой игры зависит от х и будет обозначаться через

Применяя правила первого полного цикла ходов, часто можно получить функциональное уравнение, которому должна удовлетворять Если решение этого уравнения единственно, то функция будет найдена. Ценой исходной игры будет

поскольку единственным отличием исходной игры от этой служит то, что может сам выбрать значения х, и он будет пытаться при этом минимизировать плату.

Пример 12.6.1. Простая игра «прицеливание и увертывание». Эта игра является простейшей из нетривиальных дискретных моделей примера 12.2.3. Пусть имеется бесконечный в обе стороны ряд точек. В одной из точек этого ряда стоит фишка. В каждый из своих ходов имеет выбор между движениями фишки вправо или влево в соседние точки. Его ход чередуется с ходом который. в свою очередь имеет выбор между ожиданием — отсутствием хода — и «стрельбой». Если выбирает последнее, то он должен выбрать точку, в которую стреляет. Тогда игра заканчивается; если фишка окажется в указанной точке, то побеждает в противном случае побеждает

Основой здесь является неполная информация, обусловленная запаздыванием во времени. Непосредственно перед своим ходом знает все ходы за исключением двух последних. Следовательно, в момент выстрела знает, что либо фишка находится на том месте, где он видел ее в последний раз ( двинул фишку вправо-влево или влево-вправо), или она на две точки правее либо на две точки левее. Поэтому разумно стрелять лишь по этим трем точкам. Если используют смешанные стратегии, что мы, конечно, и предположим, то платой будет вероятность того, что попадет, т. е. правильно угадает положение фишки.

Применим для наш метод предположительных вероятностей. Предположим, что он имеет первый ход. Пусть перед этим перешел в данную точку слева. Заменим движение случайным, а именно движением влево с вероятностью х и движением вправо с вероятностью -Цену, минимакс вероятности поражения, обозначаем через Она определяется выражением

Здесь максимум относится к четырем строчкам в правой части, а минимум по переменным ищется в области

Чтобы установить справедливость выражения (12.6.1), по крайней мере эвристически, предположим сначала, что продолжает свое движение следующим образом: если фишка сдвинулась влево (с вероятностью то последующее его движение влево имеет вероятность с, а вправо

Рис. 12.6.1.

Точно так же, если случайное движение было вправо, то последующее движение вправо имеет вероятность Величины являются частью оптимальной стратегии игрока и будут в дальнейшем фиксированы.

Четыре строки после фигурной скобки в (12.6.1) соответствуют четырем возможным ответам игрока Если он стреляет в самую левую точку — два шага влево от последней наблюдаемой позиции, — то он попадает лишь в том случае, когда фишка оказывается в этой точке, что требует двух левых движений, а вероятность этого и, следовательно, вероятность поражения есть Аналогично следующая строка есть вероятность

того, что фишка останется в центральной точке, имея в качестве предшествовавших движений движения влево-вправо или вправо-влево. Итак, вероятность поражения, если стреляет по центральной точке, равна второй строке после скобки. Третья строка соответствует стрельбе по крайней правой точке.

Наконец, последняя строка есть плата в случае, когда ждет. Если фишка сдвинулась влево с вероятностью х, мы оказываемся перед повторением исходной ситуации и начинаем нашу игру с предположительными вероятностями, в которой на месте должно стоять с. Цена ее равна Аналогично с вероятностью сталкивается с игрой, цена которой равна таким образом четвертая строка равна математическому ожиданию поражения в случае, когда ждет.

Теперь при любых заданных значениях выбирает максимум из этих четырех величин. Тогда, чтобы играть оптимально, надо выбрать так, чтобы минимизировать этот максимум. Результат дает цену игры, т. е.

График функции получаемой в результате решения уравнения (12.6.1), приведен на рис. 12.6.1. На центральном интервале функция постоянна, зато на обоих крайних интервалах ее график состоит из бесконечно большого числа прямолинейных отрезков, концы которых имеют своими предельными точками

Мы решили несколько подобных задач, и результирующая функция была столь же сложной. Найти ее было очень трудно. А ведь все, что нам от нее нужно для решения исходной задачи, — это ее минимум!

Но нет ли здесь намека на возможность построения приближенного решения? Ломаные в графике на рис. 12.6.1 поражают своей близостью к гладкой кривой. Существует ли такой приближенный метод, включающий в себя аналог функции в котором эта функция окажется более простой?

Рассмотренная игра принадлежит к тому типу игр, где применимы доводы за построение приближенного решения, приведенные в пунктах I и 2 § 12.5. Следовательно, в силу этих пунктов и в силу существования многих других более реалистичных примеров той же природы, которые имеют большую практическую ценность, разумно выбранное приближенное решение может оказаться достаточным и имеющим большое значение.

Дальнейшие детали, касающиеся этой игры, приведены в работах [13].

1
Оглавление
email@scask.ru