1.3. ВОЕННЫЕ ИГРЫ

Фазовые координаты должны быть такими величинами, которые характеризуют положение дел в той мере, в какой по необходимости упрощенная модель задачи соответствует реальному процессу. Фазовыми координатами могут, в частности, быть число людей, самолетов, танков, судов; может оказаться целесообразным разделить их на группы по расположению в различных районах или по какому-либо другому признаку, например по удаленности от линии фронта и т. д.

Пусть армия 1 -«минимизирующая» - имеет в своем распоряжении управления соответственно армия 2 — «максимизирующая» — имеет управления Выбор управлений обусловлен обстоятельствами. Предположим, например, что платой является разница в живой силе (или снаряжении и т. п.) в конце игры или в фиксированный момент времени Пусть соответствующая координата армии, тогда плата равна — Механизм развития подобной игры лучше всего продемонстрировать на конкретных примерах.

Пусть количество живой силы армии 1 в некотором секторе; это количество может уменьшаться за счет воздушных налетов противника. Пусть число самолетов армии 2 (противника), которые можно использовать для этой цели. Через обозначим долю общего числа самолетов которую противник решает использовать в некоторый момент времени.

Теперь нужно из опыта или каким-либо другим образом определить, как ожидаемые потери в живой силе зависят от числа посланных самолетов противника. Пусть они прямо пропорциональны и коэффициент пропорциональности равен с.

Для того чтобы иметь возможность использовать мощный аппарат математического анализа, будем предполагать, что процесс является не дискретным, а непрерывным. Это дает непрерывную аппроксимацию дискретной игры.

Представим себе, что армия 1 получает пополнение с фиксированной скоростью Тогда имеем уравнение

Многоточие в правой части означает различные другие члены, как, например, изменения в результате других действий армии 2 или маневрирования живой силой внутри армии 1. Если игра полностью симметрична, то имеем такое же уравнение, только армии меняются ролями.

Пусть некоторый непополняемый запас военного снаряжения армии 1, который служит для ее снабжения. Пусть максимальная скорость такого снабжения. Пусть доля от которую армия 1 решает использовать в данный момент. Тогда

При определении пространства состояний мы будем требовать, чтобы выполнялось условие Тогда (1.3.2) представляет собой ограничение на использование этого запаса и дает игроку возможность распоряжаться этим запасом с учетом его ограниченности.

В левых частях уравнений (1.3.1) и (1.3.2) стоят обычные производные от координат по времени. Уравнения такого типа служат основным средством описания развития дифференциальной игры. Они называются уравнениями движения и имеют вид

Итак, скорость изменения фазовых координат является заданной функцией от фазовых координат и управлений обоих игроков.