7.12. ДАЛЬНЕЙШЕЕ ОБСУЖДЕНИЕ ВОПРОСА О ПРИРОДЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И СВЯЗЬ ИХ С УРАВНЕНИЕМ ЭЙЛЕРА
В этом параграфе обсуждаются вопросы, возникающие в связи с обобщением примера 7.9.1 и упражнения 7.9.2, которые рассматриваются теперь с более общей точки зрения.
Задача 
Точка х с координатами 
движется на плоскости со скоростью 
Найти траектории, которые позволяют ей в кратчайшее время достичь заданной кривой 
Очевидно, что уравнения движения здесь имеют вид
Задача II. Рассмотрим ту же самую задачу при дополнительном условии: кривизна траектории точки ограничена значением 
Тогда уравнения движения имеют вид
и соответственно 
При рассмотрении конкретных случаев мы уже неоднократно убеждались в справедливости того, что универсальные поверхности задачи II являются оптимальными траекториями задачи 
Доказательство получается в результате решения следующих двух упражнений.
Упражнение 7.12.1. Добавив к уравнениям движения задачи II уравнение 
показать, что условия 
дают
где 
Второе упражнение менее шаблонно.
Упражнение 7.12.2. Показать, что в задаче I вдоль оптимальной траектории
Это можно сделать нашим обычным способом, определяя сначала 
как функцию от 
а потом выражая 
как функции тех же самых переменных (т. е. получая уравнения характеристик в регрессивной форме) и дифференцируя 
Но возможен и другой способ, так как (7.12.2) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно и эквивалентно уравнению Эйлера для задачи 
Если мы теперь в уравнениях движения задачи II заменим 
на 
из (7.12.1), то получим дифференциальные уравнения траекторий, которые составляют универсальную поверхность. Третье из них, 
показывает, что 
удовлетворяет (7.12.2). Следовательно, при соответствующем выборе начальных условий 
в задаче II совпадает с 
в задаче 
Как раз такой вывод напрашивался из анализа рассмотренных примеров. Так, в примере 7.5.2 входящие в универсальную поверхность траектории, на которых 
представляют собой максимально крутые повороты. В задаче II они соответствуют первоначальному развороту с целью как можно быстрее получить такое состояние и такое направление скорости, чтобы точка х могла двигаться по оптимальной траектории задачи 
Все такие состояния образуют универсальную поверхность.
Другими словами, отыскание универсальных поверхностей для некоторой игры может быть эквивалентно решению другой игры более низкой размерности. Было бы интересно исследовать это явление в общем случае; однако уже сейчас можно сказать, почему нахождение универсальных поверхностей представляет собой трудную задачу. Она сходна с задачей интегрирования уравнения Эйлера, поэтому можно ожидать, что на пути создания завершенной теории встанут все сложности вариационного исчисления.
