4.6. РЕГРЕССИВНЫЙ ПРИНЦИП

При решении игры мы обращаем время начинаем с терминального множества и движемся внутрь С точки зрения дифференциальных уравнений причина такого обращения понятна. В предыдущем параграфе задача построения решения была сведена к задаче интегрирования уравнений характеристик. Но мы не можем получить соответствующие частные решения без начальных условий, и, приступая к решению, мы будем иметь все необходимые данные только на где нам известно, что

Быть может, естественнее было бы усмотреть необходимость этого принципа из дискретных примеров гл. 3, где построение решения при движении назад от конечных состояний было единственным имеющимся в нашем распоряжении способом. Кроме того, можно показать, что любую дифференциальную игру можно приблизить некоторой дискретной

Будем теперь всегда через обозначать врелт, необходимое для юго, чтобы точка х достигла (или некоторой другой

поверхности, играющей такую же роль), так что на любой огни мальной траектории

Символом х будем обозначать т. е.

Уравнения характеристик, переписанные в этих новых обозначениях (знаки правых частей при этом изменятся), будем называть уравнениями характеристик в регрессивной форме, и в основном с ними в дальнейшем мы будем иметь дело. Эти уравнения имеют вид

Заметим еще раз, что правая часть уравнения (4.6.2) есть формальная производная от (4.2.3) по явно входящему туда

Вспомним, что (4.6.2) было получено в предположении, что ограничения на управления постоянны. Хотя такое преобразование управлений всегда можно осуществить, но иногда возникают задачи, где это приводит к некоторым неудобствам. В таких случаях в (4.6.2) нужно добавить члены, соответствующие производным от управлений. Интересно отметить, что уравнения характеристик в регрессивной форме являются уравнениями Гамильтона — Якоби, но само по себе установление этого факта не приносит какой-либо пользы при рассмотрении наших задач.

Упражнение 4.6.1. Написать уравнения характеристик в регрессивной форме для основного уравнения (4 2.3), приведенного в упражнении 4.2.1. Положить Проверить, что частная производная по от левой части основного уравнения равна нулю.

Упражнение 4.6.2. Найти уравнение характеристик в регрессивной форме в естественном пространстве для игры «шофер-убийца». Здесь основное уравнение (4 2 3) имеет вид

где

и

Уравнения движения приведены в

(Ответы на эти два упражнения можно найти в конце этой главы.)

Задача 4.6.1. С помощью решения упражнения 4.6.2 показать, что решение в малом игры «шофер-убийца» состоит для из возможно более резких поворотов вправо-влево, а для в движении по прямой. Таким образом, можно ожидать, что решение имеет много сингулярных поверхностей.