11.5. ПРОБЛЕМЫ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ

Используем теперь общий, но более детальный подход для изучения отдельных частей программы, предложенной в предыдущем параграфе.

Плата

Во-первых, мы хотим пояснить очевидную, но часто непонимаемую вещь. Как для игры, так и для задачи управления (игра с одним игроком) термин «оптимальный» не имеет смысла без указания одной величины, которая должна быть максимизирована или минимизирована. Часто существует несколько важных факторов, но оптимизировать можно только один, и для того чтобы задачу можно было решить, необходимо указать, какой именно. Мы можем принять во внимание несколько факторов одновременно, используя в качестве платы линейную комбинацию их с подходящими коэффициентами (или другую функцию от них). Но эти коэффициенты надо как-то выбрать, и почти всегда это вопрос здравого смысла.

Иногда случается, что решение практически не зависит от платы. Например, стратегия, которая приводит к захвату максимальной территории, по-видимому, близка к той, которая максимизирует захват военных ценностей. В этом случае осложнений нет, но если аналитические результаты зависят от выбора платы и в качестве платы используется некая линейная комбинация, то результаты зависят от разумности выбора этой комбинации. Чересчур утонченный анализ в этих случаях вряд ли целесообразен.

Разумеется, есть много случаев, где вообще нет подобных затруднений. Система защиты, например, старается минимизировать число проникающих сквозь оборону боевых единиц противника, а система охраны максимизирует вероятность их обнаружения. Но какой выбор платы является логичным для сложных игр типа сражений? Часто плата определяется не только потерями в данный момент; в этом случае необходимо проинтегрировать по крайней мере по некоторому отрезку хода войны. Последующая польза от исхода сражений определяется выбором платы.

Чтобы придать этим соображениям логическую завершенность, нужно немного фантазии. Представим себе каталог военных средств, в котором перечислены значения всех видов военных единиц: оружия, снаряжения, персонала, баз. Эти средства изменяются с изменением обстановки из-за наличного и потенциального снабжения, специального использования для особых целей, контрснабжения противника. Нужно иметь также ряд правил для подсчета этих изменений. Тогда плату можно выразить через общие текущие значения всех этих величин, которые каждая из сторон может выигрывать или терять во время сражения.

Уравнения движения

Составление уравнений движения также ставит перед нами различные трудности. Решив, какие переменные принять за фазовые координаты и какие за управления, мы должны выразить скорости изменения первых через все эти величины. В этом пункте мы особенно остро чувствуем неточность изучаемого предмета. Как записать определенное соотношение между причиной и следствием в такой неопределенной вещи, как будущее военной схватки?

Бывает так, что можно положиться на экспериментальные данные и прошлый опыт; но бывает и так, что этого сделать нельзя. Ясно, что чем больше оружия направлено против числа целей, тем больше последних будет повреждено. За неимением лучшей информации мы часто предполагаем, что эта зависимость линейна:

Можно ли оценить коэффициент с, который означает (среднюю) скорость разрушения целей с помощью единицы оружия? Весьма возможно, что да, хотя, видимо, лишь приближенно.

На этой основе можно составить уравнения движения, простые или сложные. Большинство или все они окажутся линейными по отношению к управлениям. Тогда существо технической задачи с помощью нашей теории может быть исследовано. Ключевую роль играют сингулярные поверхности — универсальные, поверхности переключения и рассеивающие, — связанные с линейными вектограммами. Как только они оказываются найденными, обнаруживается структура оптимальных стратегий.

Чтобы проиллюстрировать эти идеи, вернемся к двум уже упоминавшимся типичным задачам. Как мы уже сказали, для достижения практического прогресса необходимо большое число человеко-часов, и, следовательно, мы должны удовольствоваться самыми начальными шагами.