ГЛАВА 7. Универсальные поверхности

7.1. ВВЕДЕНИЕ

Как было установлено в предыдущей главе, универсальные поверхности относятся к типу общий вид такой поверхности для трехмерного случая изображен на рис. 6.1.1, б.

Чтобы уяснить роль универсальных поверхностей в дифференциальных играх, их можно представлять себе как объединение особо благоприятных траекторий При оптимальном развитии игры точка фазового пространства х должна быть доставлена на универсальную поверхность и там в дальнейшем оставаться.

Мы рассматриваем игры как такие явления, суть которых состоит в противоположности интересов игроков. Поэтому термин «благоприятная траектория», относящийся к одному игроку, должен иметь обратный смысл для его противника. Таким образом, решение использовать при оптимальной игре некоторую поверхность как универсальную принадлежит только одному игроку. А оптимальная стратегия его противника на универсальной поверхности и в ее окрестности может даже оказаться непрерывной.

Следовательно, большая часть наших исследований будет относиться к играм одного игрока. При этом общность теряется лишь в незначительной степени, ибо мы можем считать второго игрока действующим по предписанию своей оптимальной стратегии, которая уже установлена. В дальнейшем мы выясним, каким образом она устанавливается, и тем самым вернемся к прежнему взгляду на партнеров как на конкурирующих игроков.

Введем теперь следующие определения и обозначения: -универсальной поверхностью назовем поверхность, на которой терпит разрыв, а непрерывна; аналогично определение -универсальной поверхности

По-видимому, наиболее интересный тип универсальных поверхностей возникает, когда уравнения движения (а в случае интегральной платы также и линейны хотя бы относительно одного управления Пусть такое управление.

Тогда идею о рассмотрении игр одного игрока можно развить дальше, а именно рассматривать игры с единственным

управлением Идея эта, как и раньше, состоит в том, что мы предполагаем, что все управления, кроме заменены оптимальными стратегиями Для полученной таким образом игры с одним управлением основное уравнение линейно относительно этого управления, так как линейны уравнения движения и Пусть множитель при в основном уравнении. Тогда при оптимальной игре, вообще говоря, в зависимости от знака будет принимать одно из своих крайних значений, допустимых ограничениями, а промежуточные значения может принимать лишь в точках, где

Предположим, что существует такая поверхность в каждой точке которой а в некоторой ее окрестности отлично от Универсальной может быть только такая поверхность, но не обязательно она ею будет. Если не меняет знак при переходе через то может вовсе не быть сингулярной поверхностью, а если меняет, то может оказаться поверхностью переключения либо рассеивающей поверхностью. Действительно, в наших примерах уже встречалась первая из этих возможностей, а что касается второй, то здесь сами могут быть разрывными и может не существовать вовсе.

В отличие от большинства рассматриваемых в этой книге сингулярных поверхностей, универсальных поверхностей нельзя достичь, двигаясь по регрессивным траекториям, ведущим к ним Следовательно, их нельзя найти, интегрируя уравнения характеристик в регрессивной форме, и их расположение, вообще говоря, не зависит от и начальных условий.

В книге не дана полная теория. В самом деле, тема линейных вектограмм и универсальных поверхностей представляется очень обширной, и дальнейшие исследования покажут, что эта тема, возможно, столь же большая, как и многие проблемы вариационного исчисления. Мы приведем необходимые условия в аналитической форме для случаев, где размерность пространства не превышает четырех. Для решения многих задач этого достаточно, но много интересных моментов все же не исследовано.

Линейность вектограмм не является необходимым условием существования универсальных поверхностей. В следующем параграфе мы рассмотрим соответствующий пример из-за его исторической связи с вариационным исчислением. Возможно, такие поверхности не представляют особого интереса, и читатель может пропустить § 7.2 без ущерба для дальнейшего чтения.