8.3. ПОСТРОЕНИЕ ПОЛУПРОНИЦАЕМЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Пусть гладкая поверхность в и пусть вектор нормали в каждой ее точке, т. е. есть функция от определенная для Длина вектора произвольна, но не равна нулю, в дальнейших рассуждениях ее можно считать подходящим образом выбранной отличной от нуля функцией от Важна лишь ориентация следовательно, вектор определен с точностью до умножения на произвольную положительную функцию от х.

Условие того, что полупроницаемая поверхность, имеет вид

Это выражение можно рассматривать как основное уравнение, несколько изменив его интерпретацию. В самом деле, мы будем ссылаться на (8.3.1) как на основное уравнение, однако дадим здесь его независимый вывод.

Так как есть т. е. составляющая скорости движения точки х при управлениях то сумма в (8.3.1) есть составляющая этой скорости в направлении Тогда положительность или отрицательность этой суммы эквивалентны пересечению точкой х поверхности в направлении или в противоположном направлении соответственно. Пусть теперь минимум в выражении (8.3.1) достигается при тогда

для любого значения в крайней справа сумме. Таким образом, использование гарантирует, что точка х не может проникнуть

сквозь поверхность в направлении какое бы управление ни применял игрок Проводя те же самые рассуждения относительно завершаем доказательство.

Мы выбираем для каждой точки такие функции что сумма в (8.3.1) достигает соответственно минимума и максимума. Далее мы считаем их достаточно гладкими функциями на Тогда х имеет некоторую определенную скорость в каждой точке на

Может случиться, что эта скорость всюду на равна нулю. Такую полупроницаемую поверхность будем называть статической. Эквивалентными формальными условиями будут, очевидно, условия

Пример 8.3.1. Пусть перемещаются простым движением, их скорости по модулю равны; скорость точки х равна векторной сумме скоростей Тогда очевидно, что любая гладкая поверхность полупроницаема. Игроки в качестве направлений своих скоростей выбирают и противоположное ему направление соответственно. Отсюда следует, что поверхность статична.

Более интересен случай, когда (8.3.2) нигде не выполняется. Допустим, что в точках на скорость не равна нулю, тогда из (8.3.1) ясно, что эта скорость лежит в касательной плоскости к Из теоремы существования для дифференциальных уравнений следует, что тогда должна быть совокупностью траекторий, описываемых точкой х при использовании стратегий и

Предполагая, что можно включить в семейство полупроницаемых поверхностей, регулярно заполняющих ее окрестность можно получить систему уравнений характеристик для таких траекторий. Формально вывод их не содержит ничего нового; он совпадает с приведенным раньше, но только функции V теперь заменены функциями

Точнее, требуется допущение о том, что можно продолжить на всю окрестность Найдем удовлетворяющие (8.3.1) и определенные для Запишем (8.3.1) в форме

основного уравнения (4.2.3) (т. е. заменяя в нем на

Если теперь функции, определенные на удовлетворяющие (8.3.3) на и равные первоначальным на, то они и будут требуемыми продолжениями

Пусть такие функции от что сумма в (8.3.1) достигает на них соответственно минимума и максимума. Продифференцируем по и рассмотрим отдельно члены различного типа. Выпишем сперва слагаемые, полученные при дифференцировании по явно входящим

где

Слагаемые, полученные при дифференцировании функций по явно входящим в них имеют вид

Наконец запишем слагаемые, полученные при дифференцировании как функций от

это можно переписать в виде

Рассуждая так же, как и раньше, заключаем, что если минимизирующее значение является внутренним минимумом, то первая круглая скобка обращается в нуль. Если функция принимает одно из своих крайних значений, то она остается для всех близких значений х равной этому значению, которое мы можем считать постоянным. Тогда вторая скобка обращается в нуль.

Те же самые рассуждения справедливы при замене на Используя классические методы анализа, можно показать существование такой функции определенной что если имеют соответствующую длину, то

Это означает, что

или

Сделав такую замену в (8.3.4), получаем

здесь производные соответствуют движению х, когда используются в качестве стратегий. Последнюю сумму можно записать как таким образом, мы приходим к уравнению

Наконец присоединяем эти уравнения к первоначальным уравнениям движения. Заменяя в них на меняя направление отсчета времени (т. е. заменяя на в тех и других уравнениях), получаем новые уравнения характеристик в регрессивной форме:

Проблема 8.3.1. Можно ли получить уравнения характеристик (8.3.6), не используя окрестность поверхности

Хотя эта проблема естественно возникает по ходу наших рассуждений, ее практическое значение невелико. Чтобы применить высказанные соображения к играм качества, как мы потом узнаем, полезно включать в некоторое семейство.

В общем случае можно провести полупроницаемую поверхность (с подходящей ориентацией) через заданную кривую т. е. -мерное многообразие в в). Пусть этой кривой будет

Сначала нужно найти для 3. Условие перпендикулярности дает

и, кроме того, на 3 должно выполняться основное уравнение (8.3.3).

Таким образом, мы имеем уравнений для определения Ориентация должна быть подходящей для нашей задачи, а длина может быть произвольной.

Следующий результат представляет собой обратную теорему, из которой следует, что наше построение приводит к полупроницаемой поверхности.

Теорема 8.3.1. Пусть такие функции от что (8.3.1) достигает на них соответственно Пусть для некоторой кривой 3), заданной формулами (8.3.7), представляют собой значения не все равные нулю и удовлетворяющие (8.3.8) и (8.3.3). Пусть интегралы дифференциальных уравнений (8.3.6) с начальными условиями Тогда решения задают в параметрической форме полупроницаемую поверхность, содержащую

Доказательство проводится так же, как в теореме 4.8.1, и здесь мы его опускаем.

Построение, которое проводится при доказательстве теоремы, показывает, что если определены из (8.3.1) однозначно, то имеется единственное решение для каждого удовлетворяющего соотношениям (8.3.8) и (8.3.3).

Полученную полупроницаемую поверхность можно включить в семейство близких полупроницаемых поверхностей. Для этого нужно лишь включить кривую в однопараметрическое семейство близких кривых и использовать каждую для построения полупроницаемой поверхности. Семейство кривых также должно образовывать некоторую поверхность, причем необходимо, разумеется, чтобы эта поверхность не была касательной к

Мы предполагали, что — гладкая поверхность. Однако область исследуемых задач можно расширить так, что она будет охватывать различного рода исключения. Подход к таким задачам аналогичен изложенному на предыдущих страницах. Действительно, пусть можно включить в семейство полупроницаемых поверхностей. Выберем такую гладкую функцию чтобы она была постоянна на каждой поверхности, а скорость ее изменения при переходе от одной поверхности к другой была отлична от нуля. Ясно, что такое семейство эквивалентно поверхностям постоянных значений цены для некоторой игры с терминальной платой. К ней можно применить наши методы нахождения сингулярных поверхностей — универсальных, поверхностей переключения и т. д. Их можно рассматривать как соответствующие сингулярные кривые на

Упражнение 8.3.1. Заданы уравнения движения

Провести полупроницаемую поверхность через ось (параметрическое задание ее: Возможны две поверхности противоположной ориентации; устранить неопределенность, полагая (можно принять Мы должны иметь всюду, кроме почему? [Решение имеет вид

Упражнение 8.3.2. Заданы уравнения движения

1. Показать аналитически, что полупроницаемые поверхности суть прямые, составляющие угол 30° с вертикалью, и найти

2. Нарисовать вектограммы и показать тот же результат геометрически.