7.3. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ДЛЯ СЛУЧАЯ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОГРАММ (ИНТУИТИВНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ)

Для пояснения наших общих идей рассмотрим двумерную игру одного игрока. Чтобы в такой игре могла существовать универсальная поверхность, необходимо, чтобы плата была интегральной, В самом деле, если бы плата была терминальной, то, как мы знаем, цена игры должна была бы быть постоянной на каждой оптимальной траектории. Тогда она должна оставаться постоянной на универсальной поверхности и на всех входящих в нее траекториях, а следовательно, и в некоторой области, содержащей универсальную поверхность. Это значит, что в этой области все стратегии оптимальны и универсальная поверхность существует лишь в самом тривиальном смысле.

Итак, плата должна быть интегральной. Предположим, что в отличие от предыдущего параграфа Для определенности будем считать, что всегда Задача упрощается, если не зависит от единственного управления но вскоре мы увидим, что то, о чем мы сейчас будем говорить, применимо и для случая, когда функция линейна относительно

Пусть в некоторой области градиент функции V существует и не равен нулю. (Заметим, что это не выполняется в окрестности универсальной поверхности, если на ней Мы покажем приближенным геометрическим способом, что тогда универсальная поверхность может возникнуть лишь в случае линейных вектограмм.

На рис. 7.3.1, а изображена типичная линейная вектограмма. Представим себе, что она нарисована в очень мелком масштабе, так что векторы ее близки к фактическим возможным перемещениям точки х в течение короткого интервала. На этом же рисунке изображены отдельные кривые постоянных значений Пусть V возрастает в направлении, указанном стрелкой и обозначенном

Какой из векторов этой вектограммы наилучший? Очевидно, тот, использование которого обеспечивает наибольшее уменьшение значения V, т. е. тот, который достигает наиболее

удаленной кривой в направлении убывания В нашем случае это крайний левый вектор, выделенный на вектограмме жирной линией.

Рис. 7.3.1.

Рис. 7.3.2.

Аналогично на рис. максимальное уменьшение V достигается на крайнем правом векторе.

Рис. 7.3.3.

Ясно, что критерием является направление убывания V вдоль базовой линии (линии концов векторов вектограммы). Промежуточный вектор может достичь линии наименьшего

значения V лишь в случае, когда убывание отсутствует или когда базовая линия касается локальной кривой постоянного значения Такой случай изображен на рис. 7.3.1, в.

Допустим, имеется кривая, в каждой точке которой выполняется последнее условие: таковы, например, пунктирные линии на рис. 7.3.2, где все вектограммы имеют горизонтальные базовые линии. Только такие кривые и могут быть универсальными.

Рис. 7.3.4.

Предположим, что изображенная на рис. 7.3.1, в точка лежит на такой кривой. Из рис. 7.3.1, а и б ясно, как выглядят вектограммы непосредственно справа и слева; на маленьких вектограммах рис. 7.3.1, в выделены оптимальные направления. Таким образом, оптимальные траектории с двух сторон сходятся к центру, и мы получаем универсальную поверхность.

Чтобы обосновать наше утверждение о том, что линейность вектограмм здесь существенна, рассмотрим типичную выпуклую вектограмму, такую, как на рис. 7.3.1, г. Снова применим критерий о соответствии наклона базовой линии и направления на

рисунке выделен вектор, достигающий кривой минимального значения В общем случае минимизирующее значение является внутренним и изменяется непрерывно в зависимости от х, так что появление универсальной поверхности здесь невозможно. Если вектограмма лишь незначительно выпукла, можно ожидать, что оптимальные траектории будут иметь некоторое сходство с линейным случаем, как, например, изображено на рис. 7.3.3.

Дж. Данциг предложил использовать эту идею для нахождения универсальной поверхности. Сделав линейные вектограммы незначительно выпуклыми, определяем траектории, а затем изучаем их предельное поведение при постепенном исчезновении выпуклости.

Попытаемся теперь с помощью эвристических рассуждений понять, что происходит в случае большего числа управлений. Рис. 7.3.4 представляет собой трехмерный аналог плоской картинки 7.3.1. Вектограммы являются конусами и линейны в том смысле, что основания у них плоские (базовые плоскости). Нарисованы также поверхности постоянных значений Те же рассуждения, что и раньше, показывают, что особое («собирающее») поведение могут иметь лишь те кривые, на которых базовая плоскость локальной вектограммы касается поверхности постоянного значения Таким образом, здесь мы получаем скорее «универсальную кривую», а не поверхность.

Кажется вполне правдоподобным, что всегда линейность вектограмм относительно нескольких управлений может привести к универсальным многообразиям меньшей размерности, чем поверхности. Интересно было бы выяснить, не является ли такое многообразие пересечением нескольких универсальных поверхностей, каждая из которых соответствует определенному управлению. По-видимому, здесь перед нами обширная, пока еще не исследованная область.

Следующий пример может пояснить все эти соображения.

Пример 7.3.1. Рассмотрим движение в верхней полуплоскости; пусть пытается достичь оси за минимальное время. Все вектограммы имеют такую форму, как на рис. 7.3.5, а, а длина векторов заданная гладкая функция . Пусть уравнения движения имеют вид

На рис. 7.3.5 показан приблизительный вид поверхности кривые на этом рисунке (тонкие линии) означают

сечения, перпендикулярные плоскости страницы, гребни хребтов, лежит на дне долины.

Ясно, что неособые оптимальные траектории должны иметь наклон ±45°. Поскольку и представляют собой множества точек, соответствующих большим значениям и, можно ожидать, что они действуют как высокоскоростные магистрали и являются универсальными кривыми. Соответственно можно подозревать, что кривая низких скоростей может оказаться рассеивающей.

Рис. 7.3.5.

Первое из этих предположений, как выяснится в примере 7.5.1, правильно, а то, что второе, вообще говоря, может быть ложным), легко усмотреть из задачи 6.10.1 (при Разумеется, если обе универсальны, то между ними должна быть рассеивающая поверхность (кривая), но она не обязательно должна лежать на дне долины.

Обратите внимание, как х, начиная движение из точки типа сначала следует к спускается по ней до конца, затем по наклоненной под углом —45° траектории достигает и по ней движется к

Поскольку и О оканчиваются в левой части плоскости, их должна менять знак. Это заставляет нас подозревать, что здесь имеется поверхность переключения, потому что может добиться выгодного отклонения точки х по направлению к области более высоких скоростей.

Позднее мы покажем, что универсальные поверхности характеризуются условием

но общих критериев, с помощью которых можно было бы различать рассеивающие поверхности и поверхности переключения, не существует; все зависит от и от начальных условий.