Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.10. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИМы уже упоминали раньше о затруднениях, неожиданно возникающих при рассмотрении дифференциальных игр. С этой точки зрения вернемся к задаче об игре с препятствием, описанной в § 6.3. Эта игра преследования была помещена там просто для того, чтобы пояснить понятие рассеивающей поверхности на возможно более простом примере. Для начальных точек такого типа, как изображено на помещенных выше рисунках, решение является определенным и не требует дальнейшего исследования. Но для других случаев игра оказывается не столь простой. Допустим, что игра начинается из положения, когда
Рис. 6.10.1 Если игроки будут действовать в соответствии с нашей вполне «очевидно» оптимальной стратегией, они скоро окажутся в положении Проблема 6.10.1. Каково полное решение игры с препятствием? При рассмотрении следующей игры оказывается, что решение ее содержит рассеивающую поверхность, определяемую из соображений явной симметрии. Задача 6.10.1. Пусть игра описывается уравнениями движения
где Здесь Доказать, что 1) существует единственная рассеивающая поверхность, 2) она встречается с осью х в точке 0, лежит внутри области
и имеет асимптотой прямую
3) для случая симметрии Следующая задача по настоящему трудная Хотя значение С другой стороны, большую практическую ценность в этой задаче имеет вариант игры качества, Проблема Пусть самым перемещая прочь от Кроме обычных для дифференциальных игр вопросов, эта игра порождает и некоторые необычные Куда должен поворачивать самолет? (Мы утверждаем следующее когда
Рис. 6.10.2 Здесь Кажется правдоподобным утверждение, что если Рассеивающая поверхность здесь должка состоять из Пример 6.10.1. Песчаные кучи. Если на плоскую тарелку насыпать максимально возможное количество песка, то его поверхность почти всюду будет иметь одинаковый градиент; величина градиента является характеристической константой песка. Например, круглая тарелка поддерживает песчаный конус, а продолговатая — нечто похожее на двухскатную крышу. Легко представить песчаные поверхности с несколькими пиками; однако на тарелках более сложной формы могут получиться песчаные поверхности причудливых очертаний. Формально, если и(х, у)—высота песчаной кучи, то функция и должна всюду, кроме гребней, удовлетворять соотношению
и условию Рассмотрим теперь следующую дифференциальную игру одного игрока: точка х, расположенная вначале внутри График функции V (как функции от х, у) имеет ту же форму, что и поверхность песчаной кучи; проекция гребней на плоскость является рассеивающей кривой. Очевидно, что уравнения движения для этой игры имеют вид
откуда легко получить
где
отсюда следует, что V удовлетворяет соотношению (6.10.1). Очевидно, что Для построения решения заметим, что уравнения характеристик содержат уравнения
что означает, что траектории пересекают Задача 6.10.2. Провести геометрическое исследование этих рассеивающих кривых. Например, если Пример 6.10.2. Дама в озере. Эта занимательная задача, помещенная Дама плавает в круглом озере. Джентльмен, находящийся на берегу, старается поймать ее при выходе из воды. Он може! бегать по берегу, скажем, в четыре раза быстрее, чем может плыть дама. Как ей избежать поимки (предполагается, что на берегу-то уж она от него как-нибудь да убежит)? Для получения искомого решения проведем окружность концентрическую с озером, таким образом, что отношение радиусов этой окружности и озера равно отношению скоростей движения джентльмена и дамы. Тогда дама внутри этой окружности может двигаться с большей угловой скоростью, чем ее преследователь. Она добивается успеха, направляясь сперва к центру озера, а затем двигаясь вплавь к берегу по диаметру от преследователя. Тогда у нее остается время на короткий спринтерский бросок по суше. Применив наши методы, мы сможем улучшить решение. Пусть плата выражается в терминах центрального утла между положением Упражнение 6.10.1. Решить задачу как дифференциальную игру с терминальной платой Каким образом оптимальные регрессивные траектории, выходящие из линии берега обрываются при достижении Когда Но в данном случае есть одна особенность, которой не было в предыдущих задачах. Предположим, что
|
1 |
Оглавление
|