6.10. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Мы уже упоминали раньше о затруднениях, неожиданно возникающих при рассмотрении дифференциальных игр. С этой точки зрения вернемся к задаче об игре с препятствием, описанной в § 6.3. Эта игра преследования была помещена там просто для того, чтобы пояснить понятие рассеивающей поверхности на возможно более простом примере. Для начальных точек такого типа, как изображено на помещенных выше рисунках, решение является определенным и не требует дальнейшего исследования. Но для других случаев игра оказывается не столь простой.

Допустим, что игра начинается из положения, когда расположен вблизи препятствия, а довольно далеко и с другой стороны его, как, скажем, на рис. 6.10.1.

Рис. 6.10.1

Если игроки будут действовать в соответствии с нашей вполне «очевидно» оптимальной стратегией, они скоро окажутся в положении Здесь препятствие уже не мешает! «Очевидное» решение с очевидностью оказывается некорректным, ибо пунктирная прямая на рисунке является лучшей траекторией. По-видимому, ни одна из идей, изложенных в настоящей книге, не подходит для решения такой игры.

Проблема 6.10.1. Каково полное решение игры с препятствием?

При рассмотрении следующей игры оказывается, что решение ее содержит рассеивающую поверхность, определяемую из соображений явной симметрии.

Задача 6.10.1. Пусть игра описывается уравнениями движения

где положительная функция, имеющая минимум в точке во всех остальных точках она монотонна, неограничена при существует.

Здесь есть полуплоскость а задается уравнениями Плата интегральная,

Доказать, что 1) существует единственная рассеивающая поверхность,

2) она встречается с осью х в точке 0, лежит внутри области

и имеет асимптотой прямую где удовлетворяет условию

3) для случая симметрии этой поверхностью является на ней и разрывна

Следующая задача по настоящему трудная Хотя значение для военных приложений вряд ли может быть значительным вследствие небольшого выигрыша в плате, тем не менее она имеет некоторые новые особенности, разобраться в которых было бы полезно для дальнейшего развития нашей теории

С другой стороны, большую практическую ценность в этой задаче имеет вариант игры качества, вопрос о том, действительно ли для самолета оказывается возможным увернуться от снаряда, действуя указанным ниже способом Разумеется, возможности снаряда разворачиваться нужно считать ограниченными, однако он должен деиать все, что в его силах, чтобы предугадать изменение в направлении движения своей цели

Проблема Существует определенный тип зенитных ракет, которые вследствие физических свойств установленных на них приборов лучше определяют наличие воздушной цели при заходе ей в хвост, чем на встречном курсе Допустим, например, что овал, внутри которого находится (рис представляет собой границу области, в которой снаряд может обна ружить цель Тогда в соответствии с принятой нами терминологией этот овал является областью захвата, и мы будем обозначать его

Пусть стремится насколько возможно оттянуть время захвата, т. е. попадания внутрь У Если находятся в таком положении, как изображено на рис представ ляется правдоподобным, что достигает своей цели, уклоняясь вправо в тот момент, когда надвигается угроза захвата, и тем

самым перемещая прочь от Если бы область была такой, как, скажем, на рис. 6.10.2,6, то, по-видимому, достигал бы той же самой цели, поворачивая влево

Кроме обычных для дифференциальных игр вопросов, эта игра порождает и некоторые необычные

Куда должен поворачивать самолет? (Мы утверждаем следующее когда расположен, как на рисунке, самолет повора чивает влево или вправо в зависимости от знака в точке встречи с поворот влево соответствует случаю вправо — случаю

Рис. 6.10.2

Здесь расстояние от до точки на длина дуги овала от линии симметрии Сравните на рис

Кажется правдоподобным утверждение, что если находится далеко позади, должен лететь прямолинейно В таком случае, когда он должен начинать разворот?

Рассеивающая поверхность здесь должка состоять из жества точек, соответствующих положениям, когда находится прямо позади Справедливо ли утверждение, что мгновенная смешанная стратегия применима на одной части рассеньающеи поверхности ( и близки) и не применима на другой ( и удалены на значительное расстояние)?

Пример 6.10.1. Песчаные кучи. Если на плоскую тарелку насыпать максимально возможное количество песка, то его поверхность почти всюду будет иметь одинаковый градиент; величина градиента является характеристической константой песка. Например, круглая тарелка поддерживает песчаный конус, а продолговатая — нечто похожее на двухскатную крышу. Легко представить песчаные поверхности с несколькими пиками; однако на тарелках более сложной формы могут получиться песчаные поверхности причудливых очертаний.

Формально, если и(х, у)—высота песчаной кучи, то функция и должна всюду, кроме гребней, удовлетворять соотношению

и условию на границе тарелки, которую считаем гладкой замкнутой кривой и обозначаем через

Рассмотрим теперь следующую дифференциальную игру одного игрока: точка х, расположенная вначале внутри перемещается простым движением с единичной скоростью и стремится достичь за минимальное время. Утверждается следующее.

График функции V (как функции от х, у) имеет ту же форму, что и поверхность песчаной кучи; проекция гребней на плоскость является рассеивающей кривой.

Очевидно, что уравнения движения для этой игры имеют вид

откуда легко получить

где Напишем основное уравнение (4.2.3):

отсюда следует, что V удовлетворяет соотношению (6.10.1). Очевидно, что на

Для построения решения заметим, что уравнения характеристик содержат уравнения из которых с учетом (6.10.2) следует, что оптимальные траектории прямолинейны. Задавая гладкую кривую уравнениями получаем начальные условия на

что означает, что траектории пересекают под прямым углом. Поскольку пройденное расстояние и время (равное V) совпадают (в силу единичности скорости), для получения рассеивающей поверхности можно применить предложенный в § 6.5 способ, используя в качестве V расстояние до но внутренней нормали. Отсюда ясно, что график функции V должен быть непрерывной поверхностью, зависящей от формы основания песчаной кучи (от формы тарелки).

Задача 6.10.2. Провести геометрическое исследование этих рассеивающих кривых. Например, если является многоугольником, они представляют собой куски прямых и парабол. Если имеет «вершину» (т. е. точку, где радиус кривизны минимален), то рассеивающая кривая оканчивается в центре соприкасающейся окружности.

Пример 6.10.2. Дама в озере. Эта занимательная задача, помещенная Гарднером в возглавляемом им разделе журнала Scientific American, демонстрирует еще одну особенность рассеивающих поверхностей

Дама плавает в круглом озере. Джентльмен, находящийся на берегу, старается поймать ее при выходе из воды. Он може! бегать по берегу, скажем, в четыре раза быстрее, чем может плыть дама. Как ей избежать поимки (предполагается, что на берегу-то уж она от него как-нибудь да убежит)? Для получения искомого решения проведем окружность концентрическую с озером, таким образом, что отношение радиусов этой окружности и озера равно отношению скоростей движения джентльмена и дамы. Тогда дама внутри этой окружности может двигаться с большей угловой скоростью, чем ее преследователь. Она добивается успеха, направляясь сперва к центру озера, а затем двигаясь вплавь к берегу по диаметру от преследователя. Тогда у нее остается время на короткий спринтерский бросок по суше.

Применив наши методы, мы сможем улучшить решение. Пусть плата выражается в терминах центрального утла между положением в тот момент, когда дама коснется берега. Оптимальная стратегия для нее, когда она находится вне состоит в том, чтобы плыть к берегу по направлению касательной к наиболее далекой от

Упражнение 6.10.1. Решить задачу как дифференциальную игру с терминальной платой Каким образом оптимальные регрессивные траектории, выходящие из линии берега обрываются при достижении Каков верхний предел отношения скоростей к при котором дама может избежать поимки? (Он лежит где-то около

Когда находится вне на диаметрально противоположной стороне от существуют два оптимальных пути: мы получаем рассеивающую поверхность, для которой имеется обычная мгновенная смешанная стратегия.

Но в данном случае есть одна особенность, которой не было в предыдущих задачах. Предположим, что находится на границе а на диаметрально противоположной точке берега. Тогда может двигаться по касательной любом направлении. Мы предполагаем, что она перехитрит приняв одно из двух равнооптимальных решений. Но она также может принять и любое другое решение, так как если она приняла исходное решение неверно (она видит, что бежит по берегу в том же направлении, что и она), ей просто нужно вернуться в центр озера и начать все сначала.